§6. Эксцентриситет и директрисы гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется число ε= , где с - половина фокального расстояния, а a - действительная полуось.

Так как у гиперболы c>a, то ε>1. Можно доказать, что от ε зависит форма гиперболы, ее «сжатость» к оси Oх. Чем больше ε, тем менее «сжата» гипербола к действительной оси, а значит более «вытянута» вдоль своей мнимой оси.

Директрисами гиперболы называются две прямые, параллельные мнимой оси и отстоящие от центра гиперболы на расстоянии d= , где a - действительная полуось.

Так как ε>1, то d<a, т.е. директрисы отстоят от центра гиперболы ближе, чем ее вершины, поэтому директрисы лежат между ветвями гиперболы и определяются уравнениями: d_1,2: х = ± .

Рис.11. Прямые d₁ и d₂ - директрисы гиперболы.

Фокус и директриса гиперболы, расположенные по одну сторону от мнимой оси, называются соответствующими друг другу.

Замечания

1. Гипербола, полуоси которой равны (a=b), называется равносторонней.

Ее характеристический прямоугольник - квадрат, асимптоты - взаимно перпендикулярные прямые: у=х и у=-х. Если эти прямые принять за оси прямоугольной системы координат, то равносторонняя гипербола будет иметь уравнение ху=m, где m= . Значит, равносторонняя гипербола является графиком обратной пропорциональности.

2. Уравнение - =-1 определяет гиперболу с действительной

(фокальной) осью Oу, для любой точки которой │F₁M – F₂M│=2b, ε= , d= , уравнения директрис: у=± . Гиперболы - =1 и - =-1 называются взаимно сопряженными.

§7. Парабола, каноническое уравнение

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.

y

d

Рис.12.М- точка, лежащая на параболе, F- фокус, d- директриса.

Пусть F - фокус параболы, d - директриса, расстояние FD от фокуса до директрисы называется фокальным параметром и обозначается через р, М - произвольная точка параболы.

Найдем уравнение параболы в прямоугольной системе координат O , такой, что O - середина отрезка FD, ↑↑OF (рис.12). Тогда можно найти координаты точек F и D: F( ;0), D(- ;0), уравнение директрисы d имеет вид: х+ =0.

Пусть точка М(х,у) - произвольная точка параболы. По определению параболы MF=ρ(М,d). Так как

MF= , (1)

а расстояние от точки M до прямой d определяется формулой

ρ(М,d)=│х+ │, (2)

то получим уравнение: =│х+ │. После возведения последнего уравнения в квадрат и приведения подобных членов получим:

у²=2px . (3)

Итак, если точка М(х,у) принадлежит параболе, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (3).

Докажем обратное утверждение: если координаты некоторой точки M удовлетворяют уравнению (3), то эта точка принадлежит параболе, т.е. для нее выполняется равенство: MF=ρ(M,d).

Подставив в формулу (1) у² из формулы (3), получим:

MF= = =│x+ │=ρ(M,d).

Следовательно, М - точка параболы. Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы. Из него следует, что парабола является линией второго порядка.