Вычислить значение интеграла при заданных значениях a, b, и количестве узлов интегрирования n с помощью квадратурной формулы трапеций в matlab.
1. Задаем функцию f(x) = Pn(x) в m-файле функции.
function res=f(x)% Интегрируемая функция
res= Сама функция;
2. Вычислить значение интеграла I аналитически, т.е. найти его точное значение.
% Вычисление точного значение интеграла. Второй способ.
a=0; b=1; % Пределы интегрирования
syms x; % Задание символьной переменной
f=сама функция; % Задание подинтегральной функции
In=int(f) % - неопределённый интеграл,
Io=int(f,a,b) % - определённый интеграл.
format long e % Необходимо для перевода результата из
I=double(Io) % символьного формата в вещественный.
3. Вычислить значение интеграла I по формуле трапеций.
Здесь h = (b-a)/n
Файл сценария:
a=1; b=1.44;
format short e
h=(b-a)/n;
I=h*((f(a)+f(b))/2)-трапеций
Пример
6.2.
Вычисление интеграла
методом прямоугольников в пакете MATLAB:
>> f=inline('sin(x)'); % задание подынтегральной функции
>> Xmin=0;
>> Xmax=pi/2;
>> N=2001;
>> i=1:N;
>> dx=(Xmax-Xmin)/(N-1); % шаг интегрирования
>> x=Xmin:dx:Xmax; % вычисление координат узлов сетки
>> y=feval(f,x); % вычисление значений функции в узлах сетки
% вычисление интеграла методом трапеций
>> s=0;
for i=2:N-1
s=s+y(i);
end;
Ft=(0.5*y(1)+s+0.5*y(N))*dx
Ft =
1.0000
>> Ft-1
ans =
-5.1456e-008
Аналитически найти теоретическую погрешность при численном вычислении интеграла при заданных значениях a, b, и количестве узлов интегрирования n с помощью квадратурной формулы трапеций.
Для нахождения зависимостей погрешности вычисления определенного интеграла на отрезке от числа отрезков разбиения интервала интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора:
. (6.22)
Тогда интеграл от данной функции на отрезке будет равен
. (6.23)
Погрешность формулы трапеций
.
Так как значение интеграла на отрезке
вычисляется по формуле
,
то погрешность равна
(6.25)
Заменив
в (6.25) первый член выражением (6.23), значение
функции в точке
разложением в ряд Тэйлора:
,
раскрыв
скобки и приведя подобные, обнаруживаем,
что член, пропорциональный первой
производной функции, сокращается, и
погрешность на одном отрезке равна
.
Следовательно, полная погрешность
формулы трапеций на отрезке
по порядку величины равна
.
1. Задаем функцию f(x) = Pn(x) в m-файле функции.
function res=f(x)% Интегрируемая функция
res= Сама функция;
2. Вычислить значение интеграла I аналитически, т.е. найти его точное значение.
% Вычисление точного значение интеграла. Второй способ.
a=0; b=1; % Пределы интегрирования
syms x; % Задание символьной переменной
f=сама функция; % Задание подинтегральной функции
In=int(f) % - неопределённый интеграл,
Io=int(f,a,b) % - определённый интеграл.
format long e % Необходимо для перевода результата из
I=double(Io) % символьного формата в вещественный.
3. Вычислить значение интеграла I по формуле трапеций.
Здесь h = (b-a)/n
Файл сценария:
a=1; b=1.44;
format short e
h=(b-a)/n;
I=h*((f(a)+f(b))/2)-трапеций
4.Определение теоретической погрешности:
Теоретическая оценка погрешности.
Файл сценария:
syms x;
f=сама функция;
f1=diff(f,1);
f2=diff(f,2);
f4=diff(f,4);
a=1;
b=1.44;
x=a:0.001:b;
format short e
m1= первая производная от исходной функции;
m2= вторая производная от исходной функции;
m4= четвертая производная от исходной функции;
M1=max(abs(m1));
M2=max(abs(m2));
M4=max(abs(m4));
h=(b-a)/n;
R=(M2*(b-a)*h^2)/12 трапеций