21. Плотность рапсределения двумерной с.В.

Ф-ция распределения А(x,y) двумерной с.в. (Х, У) – это вероятность того, что X<x, Y<y: F(x,y) = p(X<x, Y<y). Свойства: Т.к. это вер-ть, то [0;1]; неубывающая ф-ция по каждому аргументу: F(x2,y)≥F(x1,y) если x2>x1; F(x,y2)≥F(x,y1), если y2>y1. Доказательство: F(x2,y) = p(X<x2, Y,y)=p(X<x1, Y,y) + p(x1≤X<x2, Y<y)≥p(X<x1, Y,y) = F(x1,y). имеют место предельные соотн-я: а) F(-;y)=0; б) F(x, -)=0; в) F(-,-)=0; г) F(+,+)=1. при y= функция распр-я двумерной с.в. становится ф-цией распр-я составляющей Х: F(x, +)=F1(x); при x= функция распр-я двумерной с.в. становится ф-цией распр-я составляющей Y: F( +,y)=F2(y);

Плотность распр-я двумерной с.в. – смешанная частная производная 2-го порядка от ф-ции распределения. Она предст-ет собой предел отношения вер-ти попадания случ-й точки в прямоуг-к со сторонами ∆x и ∆y к площади это прямоуг-ка. Свойства этой плотности:  f(x,y)≥0; f(x,y)=F’’(x,y);

22. Зависимость и независимость двух с.В.

При изучении систем с.в. всегда следует обращать внимание на степень и хар-р их завис-ти – она м.б. более или менее выраженной, более или менее тесной, а в некоторых случаях настлько тесной, что, зная значение одной с.в. можно в точности указать значение другой

С.в. У независима от с.в. Х, если закон распр-я величины У не зависит от того, какое значение приняла Х. Для непрерывных с.в. условие независимости У от Х: f(y|x)=f2(y) при любом y. Случ.величины Х и У независимые, если закон рапр-я каждой из них не знависит от значения другой с.в. В противном случае они зависимы. Для того,чтобы величины Х и У были независимы,необходимо и достат-но,чтобы ф-ция распр-я системы (Х,У) была равна произв-ю ф-ций распред-я составляющих. Аналогичную теорему можно сформулир-ть и для плотности распр-я: для того, чтобы ..., ... чтобы плотность совместного распр-я системы (Х,У) была равна произв-ю плотностей распр-я сост-щих.

23.Условные законы распределения двух с.В.

Условным законом распределения величины , входящей в систему , называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина  приняла определенное значение .

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью. Условная функция распределения обозначается  условная плотность распределения . Так как системы непрерывных величин имеют основное практическое значение, мы в данном курсе ограничимся рассмотрением условных законов, заданных плотностью распределения.

Чтобы нагляднее пояснить понятие условного закона распределения, рассмотрим пример. Система случайных величин  и  представляет собой длину и вес осколка снаряда. Пусть нас интересует длина осколка  безотносительно к его весу; это есть случайная величина, подчиненная закону распределения с плотностью . Этот закон распределения мы можем исследовать, рассматривая все без исключения осколки и оценивая их только по длине;  есть безусловный закон распределения длины осколка. Однако нас может интересовать и закон распределения длины осколка вполне определенного веса, например 10 г. Для того чтобы его определить, мы будем исследовать не все осколки, а только определенную весовую группу, в которой вес приблизительно равен 10 г, и получим условный закон распределения длины осколка при весе 10 г с плотностью  при . Этот условный закон распределения вообще отличается от безусловного ; очевидно, более тяжелые осколки должны в среднем обладать и большей длиной; следовательно, условный закон распределения длины существенно зависит от веса .

Зная закон распределения одной из величин, входящих в систему, и условный закон распределения второй, можно составить закон распределения системы. Выведем формулу, выражающую это соотношение, для непрерывных случайных величин. Для этого воспользуемся понятием об элементе вероятности. Рассмотрим прилежащий к точке  элементарный прямоугольник  со сторонами ,  (рис. 8.4.1). Вероятность попадания в этот прямоугольник - элемент вероятности  - равна вероятности одновременного попадания случайной точки  в элементарную полосу I, опирающуюся на отрезок , и в полосу II, опирающуюся на отрезок :

.