27. Графическое изображение стат.Распределения.

Для дискр-го распр-я исп-ся полигон частот – ломаная, отрезки которой содержат точки (x1,n1), (x2,n2), …, (xk,nk), где х-вар-ты выборки и n-соотв-щие им частоты. Полигон отн частот соед-ет точки (xi,wi), где wi-отн-е частоты вариант.

При непрер-м рапределении весь интервал,в кот.заключены значения,разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят ni сумму частот вариант, попавших в i-тый интервал.

Гистограмма частот-ступенчатая фигура,состоящая из прямоуг-ков,основания которых-частичные инт-лы длины h, а высоты-nih . Площадь i-того прямоуг-ка = ni (сумме частот вариант), Sгистогр.=сумма всех частот=объем выборки n. Гистограмма отн.частот-в ней длины=h, а высоты=wih, при этом площадь гистогр.отн.частот=1.

Кумулята-ломаная,соединяющая начальные точки дискретного ряда xi и ni частоты накопленные.

28. Числовые характеристики статистического распределения.

• Xср.выб. – ср.арифм. всех значений выборки, Хвыб=1ni=1nxini=x1+x2+…+xnn; Xвыб=xip*i, p*i=ni\n. Если ряд интерв-й, то за хi берут середины инт-лов,ni-соотв-щие им частоты.

• Dвыб(выб.дисп)-ср.арифм. квадратов отклонений значений выборки от выборочной оценки, D=1n(xi-xв)2ni; D=x2-x2; D=xi-xвp*i; Если знач-я признака не группир-ть и не предст-ть в виде вар.ряда, то: D=1n(xi-xв)2

• выб. (выб.ср.кв.)=D

• Ме*-медиана вар.ряда,это значение признака с.в.Х,приход-ся на сер.упорядоченного(ранжированного) ряда. Если кол-во членов четное, то Ме=(х_k+x_k+1):2 (здесь n=2k), если нечетное- Ме=xk+1, здесь n=2k+1.

• Мо-мода вар.ряда,это вар-та,имеющаянаиб.частоту.

• R=xmax-xmin- размах вариации,

Если ряд состоит из неск-ких групп наблюдения, то общая дисп. равна сумме ср.арифм. групповых дисперсий: Dгр=1nxi-xjср.n, где xjср.-ср.гр.для j-той группы; Dобщ=Dгр+Dмежгруп; Dмежгруп=1n(xi-xср)2ni

29. Оценка неиз-ных пар-ров; св-ва стат.Оценок.

Больш-во задач статистики – в оценивании опр-го колич-го признака ГС, Оценка пар-ра «тета» (ɵ) – это ф-ция рез-тов наблюдений с.в. Х, с помощью кот. судят о значении пар-ра. ɵ= ɵср.(х1,х2,...,хn). Оценка ɵ есть статистика тета. если провести другую выборку, можем иметь другие значения. Её св-ва: 1)несмещенность;2)состоят-ть;3)эффективность. ɵср.i-это несмещ.оценка для пар-ра ɵi, если её выброчное мат.ожидание равно оцениваемому пар-ру.

Если M ɵср.≠ ɵi, то оценка тета итое-смещенная, M ɵi - ɵi = (смещение оценки), если же M ɵi ɵi, то асимптотически несмещенная.

ɵср. – состоят-ная, если для любого >0 выполняется условие: limn→∞Pɵn-ɵ<ε=1 – вероятностьтого, что при увеличении объема выборки ɵn= ɵ. Несостоят-е оценки не используются. (если оценка ɵn пар-ра ɵ является несмещенной и дисперсия D ɵn0 при n, то ɵn – состоят-ная).

Несмещенная ɵn – эффективная, если она имеет наим.дисперсию при всех возм-ных несмещенных оценках пар-ра ɵ: l=σ2(θnэσ2(θn), если l1 при n, то θn- асимптотичеки эффективная.

30. Точечные оценки мат.Ожидания и дисперсии.

Оценка параметров ГС, полученная на основе выборки – статистическа. Если стат.оценка хар-ся одним числом, то она – точечная (например выб.ср., выб.дисперсия). Выб.ср. определяется как ср.арифметическое полученных при выборке значений Хв=nixin=хср., где xi-варианта выборки, ni-частота выборки,n-объем выборки. Дисперсия опред-ся как ср.арифметическое квадратов отклонений вариант от их выборочной средней: Dв=ni(xi-xв)2n. Для расчета м.б. также использована формула Дв=x2-x2. Стат.оценка-это случ.величина и меняется она в зависимости от выборки. Если М стат.оценки равно оцениваемому параметру ГС, то такая оценка-несмещенная. Выб.ср.-оценка мат.ожидания с.в. и представляет собой несмещенную оценку, а Двыб – оценивает дисперсию ген.сов-ти и является смещенной. Для устранения смещения выборочной Д её умножают на величину nn-1 и получают S²=nn-1Dвыб

31. этот метод состоит в приравнивании теоретических моментов распределения к соответствующим эмпирическим моментам того же порядка найденным по выборке. Если распределение зависит от одного параметра θ, например задан вид плотности распределения f(x), то для нахождения его оценки надо решить относительно θ одно уравнение Мх= х_в ; Мх=

Если распределение зависит от 2х параметров f( x₁, θ₁, θ₂), то решается система 2х уравнений , если n параметров , то решается система n уравнений. Метод моментов наиболее простой метод. Оценки этого метода обычно состоятельны, но их эффективность часто меньше единицы.

33. Метод максимального правдоподобия

Пусть Х1; Х2; Хn-выборка и вид закона распределения величины Х известен f(Х, θ), где θ-неизвестный параметр, которым определен этот закон. Требуется по выборке оценить параметр θ. В основе метода лежит понятие функции правдоподобия L(Х1; Х2; Хn; θ) Она представляетс собой сумму функций L(Х1; Х2; Хn; θ)=f₁(Х1; θ)*f₂(Х2; θ)*f_n(Xn; θ)-функция правдоподобия

L(Х1;Х2;Хn) = ∏f(Хi; θ); f(Xi;θ) –плотность распределения СВ Х, если Х-непрерывно, если Х-дискретная велечина, то функция правдоподобия выглядит следующим образом L( X1; Х2; Хn)=Р₁(Х1;θ)*Р2(Х2;θ)..*..Рn(Хn;θ)=∏Р(Хi;θ)

Р(хi; θ)=Р{Х=хi;θ}

За точечную оценку параметра θ берут такое значение θ(с чертой) при котором функция правдоподобия достигает максимума. Оценка макс правдоподобия θ(с черт)=θ является решением уравнения dL(x,θ)/dθ=0. Довольно часто функция правдоподобия имеет сложный вид в связи с этим проще брать вместо L LnL, так как их максимумы достигаются при одной и той же велечине θ. Таким образом для нахождения оценки мах правдоподобия нужно: 1) решить ур правдоподобия dLnL(x, θ)/ dθ=0, при этом может быть несколько вариантов реш. 2) отобрать решение θ=θ(с черт) LnL(x,θ)=мах, при этом d²LnL(x, θ)/ dθ²<0, если оценке подлежат несколько пара-ов θ1 θ2 θn распределения, то они опред. Решением системы уравн. правдоподобия

32. Метод наименьших квадратов

Метод нахождения оценки θ( с черт) неизвестного параметра θ основанной на минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных от предполагаемой(искомой оценки θ) называется методом наименьших квадратов. В этом методе нужно найти такое значение θ( с черт), которое минимизировало бы сумму F(θ)=∑(xi-θ)²→min

Метод является наиболее простым, широко распространен и не требует знания закона распределения выборочных данных.

Недостаток точечных оценок заключается в неопределенности точности оценки искомого параметра, т.е. неизвестна погрешность и надежность.

34.Интервальное оценивание пар-в. Инт-й оценкой θ-числовой инт-л,кот-й с вер-ю γ накрывает истинное знач θ. Инт-л(Ӫ_1, Ӫ₂),кот-й накрывает с вер-ю γ истинное знач-доверительный.Часто он выбирается симм-но относительно смещенной точ-й оц-ки(Ӫ-ε, Ӫ+ε) так что Р Над-ть чаще всего выбирают заранее(0,9 0,95 0,99 0,999).

35.Дов-е инт-лы для мат ож-я при неизвест-й дис-ии и нормрасп.Наибольшее откл-е оценки Ӫn от оцениваемого , в част-ти выб-й средней от ген ср-й с заданной над-тью наз-ся предельной ош-й выб-ки.Она возникает из-за исслед-я не всей сов-ти,а лишь выборки.Ее наз-т случ ош-й репрезен-ти х ,где х-СВ, нормрасп(мат ожид,дисперсия) t= . ф-ция Лапласса ( - ; + ) При заданной вер-ти по табл ищем арг-т t. Сростом n число ε убывает и точ-ть оценки растет. А увеличение над-ти γ снижает точ-ть оценки.

36.Дов-й инт-л для срквадратотклон нормрасп. Пусть х ,где гамма заданна,а дисп-я неиз-на. Можно показать,что если MX=a, то дов-й инт-л для σ(- ; ) определяется по табл при K=n-1.

37.Проверка стат гипотез. Процедура сопоставления гипотез с выб-ми данными наз-ся проверкой стат гип-зы.Относит-но нек-й ген сов-ти высказся гипотезы H_0,H₁...Из ген сов-ти извлекаются выборки.Необходимо указать правила с помощью кот-го по выб-ке реш-ся вопрос о принятии или отказе гип-зы.После проверки делают вывод,что рез-т с гипотезой согл-ся или нет.Гип-зы делятся: параметр-е(о пар-х распр-я известного вида) и непарам-е(о виде неизв распр) H_0- основнаяH_1-конкурирущая(альтер). Стат критерием наз-т ф-цию выб-ки T_n=T(x1.x2…xn)мн-во T_n разбивается на 2 непересек-ся подмн-ва(крит обл-ть S-обл-ть откл-я осн-й гип-зы) и S*-обл-ть принятия осн гип..В зависимости от того куда попадет значение крит-я и делают вывод. Возможны ошибки: 1го рода(отверг-ся верная нулевая гип . 2го рода(отв-ся прав-я альтернат гип . Вел-на 1- -вер-ть доп-я ош-ки 2-го рода(мощ-ть критерия) Чем она больше,тем вер-ть ош-ки 2го рода меньше.Одновременное умен-е ош-к 1 и 2 рода возможны лишь при увел объема выбки. При неизв-м з-не расп трудно верно определить мат ожид и дисп. Пусть нужно проверить H_0,что св под-ся зну распр: H₀ F_x(x)≠ F₀(x)Для проверки гип H₀ исп-т критерий согласия (Фишера,Пирсона,Колмогорова,Смирнова)

38. Критерий Пирсона. Разбивают всю обл-ть случ знач х на n инт-в(₁ ₂ _m) Расч-т вер-ти p_i. Вер-ть попадания св в инт-л p_i - р Крит-й хар-т ст-нь расхождения между эмпир и теор частями. При n k=m- r .-1 ст-ми свободы, где m-число гр инт-в выб-ки, r- число пар-в,предполаг распр. Условие применения: не менее 5 набл,если в отд-х инт-х их меньше,то число инт-в надо уменьшить,объединив их. Правила применения: 1. Вычис-т наиб.- выб знач стат критерия.2. выбрав ур-нь значти  по табл нах-т крит точку(квантиль)3. ≤ _a,k- гип-за не противоречит, если наоборот,то отвергают

39. Однофакторный анализ-стат метод,предназн-й для оценки влияния разл-х фак-в на рез-т испытания и для план аналог исп-й.(напр. Требуется оценить влияние св-в сырья на пок-ли кач-ва)В рез-те принимается 1 из 2 реш-й(да или нет). Пусть пров-ся H₀ о том,что ф-р А не влияет на вел-ну х.Пред-м,что ф-р имеет к-ур-ней: А1 А2 Ак. На каждом ур-не фак-в сделаем по n измерений х_ij m_i мат ожид при итом ур-не Аитого. Оценка общего мат ожид ; .Опуская ,кот-й фигурирует в оценке дисп велны х,рассм-м сумму квадр-в отклон изм-х знач этой велны от общего эмпирич мат ожид: Идея дисп анализа,что эта сумма разбивается на 2 компоненты,одна из которых обусл-на влиянием ф-ра А,а др-всеми др неконтролир. Q1= Q2= .Компонента Q1 хар-т отклон средних знач вел-ны Ч на различн ур-нях фак-ра от общего среднего знач,т е хар-т влияние фактора.(рас-е по фак-ру)Q2-рассеивание св внутри урней фактора(остаточное рассеивание)сравнивая эти компоненты можно сделать вывод существенно ли влияние А.

Пусть вел-на х имеет нормрасп . Вел-на Q1\ ,будет иметь распр пирсона с n=k-1 степенями свободы. Q2\ распр по этому же з-ну с k(n-1)След-но F=(Q1\k-1)\(Q2\k(n-1))Далее задается ур-нь знач (вер-ть ош-ки 1го рода) и по табл Fраспр реш-ся ур-е Р -нижн гр-ца крит обл.Если принимается Н0,наоборот отвергается.Те. если фак-р а не оказ-т сущ влияние на вел-нух(н0-истинно),то вел-на Q1д быть относит малой по отн-ю к Q2