Билет 22.

1.Свойство 1:  Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке   выполняется условие -  .

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке  , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок   на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке  , то образуется некоторая окрестность точки  .

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке  , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения   и  , что  , причем  .

Свойство 3: Функция, непрерывная на отрезке  , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция   непрерывна в точке  , то существует некоторая окрестность точки  , в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: Если функция   - непрерывная на отрезке   и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где  .

2. Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Билет 23.

1. Пусть предложена последовательность точек пространства  :

и пусть эта последовательность ограничена, то есть

где   — некоторое число. Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность

которая сходится к некоторой точке пространства  .Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности.

2. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции   и   определены и непрерывны в некоторой области  .

Билет 24.

1. Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

2. Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала. Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным (сокращенно ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение). Если же неизвестная функция есть функция многих переменных, то дифференциальное уравнение называют уравнением в частных производных. Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Билет 25.

1.

– производная постоянной функции равна нулю

– (правило дифференцирования алгебраической суммы функций) Производная алгебраической суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме (разности) производных слагаемых.

-(правило дифференцирования частного функций) Производная частного двух дифференцируемых функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель представляет собой разность между произведением знаменателя данной дроби на производную ее числителя и произведением числителя на производную знаменателя.

2. Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при  , а решение отыскивается при  .

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

Если решение существует, то какова область его существования?

Является ли решение единственным?

Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение   и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки   имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений  . Точка   задаёт начальные условия.