22. Функция корреляции узкополосного случайного сигнала

Узкополосный сигнал – сигнал, у которого эффективная ширина полосы частот в любом месте намного меньше центральной частоты.

Одной из статистических характеристик узкополосного случ. Сигнала явл-ся корреляционная функция:

Введем новую переменную: , ,

-корреляционная функция случайного сигнала, имеющего спектр, подобный исходному спектру, но смещенный по оси частот влево на величину , т.е. в область нч.

По существу -это корреляционная функция случайного сигнала со спектром , т.е.

Сигнала являющегося нч аналогом исходного сигнала.

Определим а(t):

23. Спектральные характеристики случайных сигналов и их отличие от спектральных характеристик детерминированных сигналов. Теорема Винера-Хинчина.

Частотные свойства случ. сигналов позволяют эффективно использовать спектральный метод анализа цепей при воздействии на них шумов и помех, успешно решать задачи синтеза систем, обладающих высокой степенью помехозащищенности.

При изучении частотных свойств детерминированных сигналов применялся спектральный анализ , основанный на рядах Фурье для периодических и преобразованиях Фурье для непериодических сигналов. Подобный метод необходим для изучения частотных свойств случ. сигналов.

Непосредственное применение классического метода спектрального анализа для множества реализаций случ. сигнала не представляется возможным , объясняется это тем ,что реализация случ. процесса имеет случайные амплитуды и фазы и их изменения, поэтому усреднение по множеству приводит к нулевому результату.

Выход: применить класс-й метод для энергетических параметров случ. сигнала.

Спектральная плотность мощности

Пусть – к- я реализация случ. процесса на интервале [0,Т]. Как известно ,реализация – неслучайная ф-я.

1. - спектр реализации

2. Известно равенство Парсеваля:

3. Рассмотрим это равенство для достаточно длинной реализации: Э=

4. Применим эту формулу для вычисления мощности:

Судя по полученной формуле можно сказать, что – -маленькая мощность, приходящаяся на – -маленький интервал

Тогда выражение можно назвать спектральной плотностью мощности.

В результате получим = – спектральная плотность мощности к-й реализации.

Учитывая эргодичность рассматриваемого процесса = , Т – время , а не период.

Полученное выражение позволяет сделать следующие выводы:

1. Спектральная плотность мощности не комплексная , а действительная.

2. 

3. =[ ]=[ ]

не содержит информацию о фазах , поэтому не позволяет восстановить отдельные реализации случ. процесса.

Иногда удобно пользоваться нормированной спектр. Плотностью мощности:

На практике используют взаимные спектр. Плотности 2-х процессов:

комплексная функция.

Формулы Винера- Хинчина

Определяют связь между частотной и временной хар-ми случ. сигнала. Формулы В-Х относятся к теореме В-Х: «спектральная плотность мощности и ковариационная функция связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье».

Доказательство: Пусть x(t) – реализация эргодического СП(она не случайная)

R( )=

Усредним выражение по времени и учтем , что применительно к СП рассматривается длинная реализация и приведенное выражение соответствует ковариационной функции:

Учитывая, что = , получаем:

1/2 - это обратное преобразование Фурье

- прямое преобразование Фурье

Если =0, то можно записать , тогда:

1/2

Учитывая четность и можно записать:

1/

Соотношения Винера – Хинчира можно применить для определения спектральной плотности мощности суммы 2-х СП:

Z(t)=x(t)+y(t)

Подставим братное преобразование Фурье:

24.Соотношение между шириной спектра и интервалом корреляции случайного сигнала.

Эффективная ширина спектра определяется:

По существу эффективная ширина спектра есть ширина идеального спектра(прямоугольного), имеющего ту же площадь ,что и исходный спектр.

Определим произведение:

Вывод: Эффективная ширина спектра и интервал корреляции случ. сигнала находятся в обратнопропорциональной зависимости.