31.Решение интегрального уравнения Фредгольма I рода методом регуляризации Тихонова.

Интегральным уравнением называется такое уравнение, неизвестная функция в котором содержится под знаком интеграла. В общем случае интегральное уравнение имеет вид

уравнение Фредгольма первого рода:

Метод регуляризации Тихонова

Для решения рассматриваемой задачи можно применить метод регуляризации Тихонова. Никто не обязывает нас непосредственно решать задачу (2) с возмущенной правой частью. Можно попытаться заменить эту задачу некоторой «близкой» задачей, решение которой будет «близко» к у(х).

В методе регуляризации 0-го порядка (слабой регуляризации) Тихонова вводится функционал

(5)

где > 0 – параметр регуляризации.

Из условия минимума функционала Ф_ следует уравнение Эйлера

(6)

где

(7)

В результате вместо уравнения первого рода (1) нужно решать уравнение второго рода (6). Решение уравнения (6), являющееся квазирешением уравнения (1), при оптимальном выборе значения  является устойчивым.

Методы регуляризации п-го порядка (при п> 0) используют для построения регуляризирующего функционала Ф_производные п-го порядка искомой функции и приводят к решению интегро-дифференциального уравнения.

Определение параметра регуляризации  является наиболее сложным этапом рассматриваемого метода. Нужно определить такое значение , которое, с одной стороны, будучи немалым, делало бы решение устойчивым, а с другой стороны, будучи небольшим, не сильно искажало бы слагаемым у(х) первоначальное уравнение первого рода.

Возможные способы определения такого умеренного значения .

1. В качестве квазинаилучшего значения  выбирается _i, при котором

где

у_i – решение уравнения (6) при  = _i.

2. Это наиболее употребительный способ, согласно которому значение  выбирается из условия

где f – ошибка задания функции f(x).