- •1. Решение слпу с трехдиагональной матрицей методом прогонки.
- •2. Решение нелинейного уравнения методом хорд и методом Ньютона.
- •3. Модификации метода Ньютона для решения нелинейного уравнения. Метод секущих для нелинейного уравнения.
- •Метод хорд для нелинейного уравнения.
- •Упрощенный метод Ньютона.
- •Модификация метода Ньютона для системы двух уравнений.
- •4. Определение действительных корней алгебраического уравнения.
- •5. Определение комплексных корней алгебраического уравнения методом Лина.
- •6.Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона.
- •10.Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения методом Милна.
- •11.Численное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом конечных разностей.
- •12. Численное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом прогонки.
- •13. Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток.
- •14. Численное решение смешанной задачи для дифференциального уравнения параболического типа методом сеток.
- •15. Численное решение смешанной задачи для дифференциального уравнения гиперболического типа методом сеток.
- •16. Задачи оптимизации. Основные понятия (проектные параметры, целевая функция). Постановка задачи. Основные типы задач оптимизации.
- •17. Одномерная задача оптимизации. Аналитическое решение и решение методом золотого сечения.
- •18. Одномерная задача оптимизации. Решение и решение методом Фибоначчи.
- •Одномерная задача оптимизации. Решение методом Пауэлла
- •Метод пауэлла
- •21.Многомерная задача оптимизации. Аналитическое решение и решение методом покоординатного спуска.
- •Метод покоординатного спуска
- •22.Многомерная задача оптимизации. Решение методом градиентного спуска.
- •Метод градиентного спуска
- •23. Многомерная задача оптимизации. Решение методом наискорейшего спуска.
- •Метод наискорейшего спуска
- •24.Задачи математического программирования. Решение методом штрафных функций.
- •25. Линейное программирование. Постановка задачи. Решение геометрическим методом.
- •26. Линейное программирование. Решение задачи симплекс-методом.
- •27.Линейное программирование. Решение задачи методом потенциалов.
- •28. Решение интегрального уравнения методом замены ядра уравнения на вырожденное.
- •29. Решение интегрального уравнения Фредгольма II рода методом Крылова-Боголюбова.
- •30. Решение интегрального уравнения Фредгольма II рода методом Бубнова-Галеркина.
- •Основа метода
- •31.Решение интегрального уравнения Фредгольма I рода методом регуляризации Тихонова.
- •Метод регуляризации Тихонова
3. Модификации метода Ньютона для решения нелинейного уравнения. Метод секущих для нелинейного уравнения.
В формуле x(k+1) = x(k) - f(x(k))/f '(x(k)) , k = 0, 1, 2, ...
метода Ньютона требуется вычислять производную функции f(x), что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. В методе секущих производная f '(x(k)) заменяется на дробь (так называемую разделенную разность) (f(x(k)) - f(x(k-1))) / (x(k) - x(k-1)).
В результате формула метода принимает вид: x(k+1) = x(k) - f(x(k))(x(k) - x(k-1)) / (f(x(k)) - f(x(k-1))), k = 1, 2, ... (2.19) где x(0),x(1) - некоторые начальные приближения к корню.
Геометрический смысл метода секущих заключается в замене на итерации с номером k графика функции y=f(х) на секущую, проходящую через точки (x(k),f(x(k))) и (x(k-1),f(x(k-1))) и, следовательно, задаваемую уравнением
y = (f(x(k)) - f(x(k-1)))(x - x(k))/ (x(k) - x(k-1)) + f(x(k))
Далее находим точку ее пересечения с осью OX, что соответствует решению линейного уравнения:
(f(x(k)) - f(x(k-1)))(x - x(k))/ (x(k) - x(k-1)) + f(x(k)) = 0
Отсюдаполучаем:
x = x(k) - f(x(k))(x(k) - x(k-1)) / (f(x(k)) - f(x(k-1))) ≡x(k+1)
1) В общем случае сходимость по методу Ньютона происходит быстрее, чем по методу секущих, и кроме того не требуется нахождения сразу двух начальных приближений к искомому корню. Но при использовании метода секущих не требуется вычисления производной.
2) Условие окончания итераций в методе секущих остается тем же, что и в классическом методе Ньютона: | x(k+1) - x(k) | ≤ ε.
Метод хорд для нелинейного уравнения.
В методе хорд производная f '(x(k)) метода Ньютона заменяется на еще более простую (по сравнению с методом секущих) разделенную разность (f(x(k)) - f(x(0))) / (x(k) - x(0))
В результате формула метода хорд принимает вид: x(k+1) = x(k) - f(x(k))(x(k) - x(0)) / (f(x(k)) - f(x(0))), k = 1, 2, ... (2.20)
причем x(0), x(1) - некоторые начальные приближения к корню. Геометрически рассматриваемый метод означает замену на каждой итерации графика функции y=f(х) на хорду, то есть через точки (x(0),f(x(0))) и (x(k),f(x(k))) проводим хорду
y = (f(x(k)) - f(x(0)))(x - x(k))/ (x(k) - x(0)) + f(x(k))
и находим точку ее пересечения с осью OX, что соответствует решению линейного уравнения:
(f(x(k)) - f(x(0)))(x - x(k))/ (x(k) - x(0)) + f(x(k)) = 0
Выражая отсюда x, получаем:
x = x(k) - f(x(k))(x(k) - x(0)) / (f(x(k)) - f(x(0))) ≡ x(k+1)
ЗАМЕЧАНИЕ 2.6 Критерий окончания итераций в методе хорд имеет вид:
| x(k+1) - x(k) | ≤ ε
Упрощенный метод Ньютона.
Этот метод имеет вид x(k+1) = x(k) - f(x(k))/f '(x(0)) , k = 0, 1, 2, ... (2.21)
где x(0) - некоторое начальное приближение к корню.
Критерий окончания данного итерационного процесса имеет вид:
| x(k+1) - x(k) | ≤ ε
К достоинствам этого метода следует отнести простоту его реализации и возможность обобщения на системы уравнений, а к недостаткам - более медленную по сравнению с методом Ньютона сходимость.