Упражнения

1. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале , считая ее периодической с периодом . Записать для нее равенство Парсеваля.

2. Разложить в ряд Фурье функцию Записать равенство Парсеваля.

3. Представить интегралом Фурье функцию

4. Представить интегралом Фурье функцию , продолжая ее четным образом на интервал

Контрольная работа по рядам и интегралам Фурье.

1. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале Записать равенство Парсеваля.

2. Разложить в ряд Фурье функцию . Записать равенство Парсеваля.

3. При каком значении параметра функции ортогональны на отрезке

Интегралы, зависящие от параметра

1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла по параметру. Интегрирование и дифференцирование по параметру под знаком интеграла.

2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость, критерий Коши. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле, Дини.

3. Предельный переход под знаком несобственного интеграла, зависящего от параметра, непрерывность по параметру. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (на отрезке). Дифференцирование интегралов по параметру.

4. Интегралы Эйлера. -функция и ее свойства. -функция и ее свойства. Связь с -функцией.

5. Вычисление интегралов с помощью интегралов Эйлера.

Упражнения

1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить , с учетом того, что .

2. Найти производную функции .

Контрольная работа по теме «Интегралы, зависящие от параметра»

1. Исследовать на непрерывность функцию

2. Найти если

3. Исследовать на равномерную сходимость при

4. Исследовать на равномерную сходимость если ,

5. Выразить через интеграл Эйлера .

6. Вычислить интеграл Эйлера

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

1. Интеграл Римана на n-мерном параллелепипеде.

2. Критерий Лебега интегрируемости по Риману (формулировка). Критерий Дарбу.

3. Мера Жордана. Критерий измеримости по Жордану.

4. Точки разрыва характеристической функции множества. Интеграл по произвольному множеству.

5. Свойства кратного интеграла Римана.

6. Теорема Фубини. Геометрическая интерпретация для функции двух переменных.

7. Замена переменных в кратном интеграле (подробная формулировка).

8. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Их физический смысл.

9. Понятие гладкой и ориентированной поверхности в трехмерном пространстве. Поверхности с краем. Согласование ориентаций поверхности и ее края.

10. Формулы площади гладкой поверхности, заданной явно, неявно и параметрически.

11. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Их физический смысл.

12. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса-Остроградского и ее физический смысл.

13. Ротор векторного поля. Теорема Стокса и ее физический смысл.

14. Потенциальные и соленоидальные поля и их свойства.

15. Запись характеристик скалярных и векторных полей с помощью вектора набла.