Упражнения
Доказать, что множество
измеримо по Жордану
Доказать, что компактное множество меры Лебега нуль имеет меру Жордана (объем) нуль.
Покажите, что множество меры Лебега 0 в не имеет внутренних точек.
Покажите, что если множество
таково, что
,
то и
.
Доказать, что борелевские множества измеримы по Лебегу.
Доказать монотонность меры Лебега.
Пусть
- пространство с мерой,
.
Доказать, что следующие утверждения
эквивалентны: 1) множество
измеримо для
;
2) множество
измеримо для
;
3) множество
измеримо для
;
4) множество
измеримо для
;Доказать, что непрерывная функция
измерима.Доказать, что монотонная функция
измерима.Доказать, что если функции
и
- измеримы, измеримыми будут и функции
и
.
Будем говорить, что функции
и
эквивалентны на множестве
и писать:
,
если
.
Доказать, что это есть отношение
эквивалентности.
Доказать, что если функции и непрерывны на отрезке
,
то
на
.При каких значениях
и
функция
,
определенная на
,
интегрируема по Лебегу, несобственно
интегрируема по Риману ?
Найти
Г-функция и В-функция (справочный материал)
-Функция:
- Функция:
Примеры
1.
( Замена в
:
).
2.
( Замена:
).
3.
4.
( Замена
).
5.
( Замена
)
6.
( Замена
).
7.
( Замена
).
8.
9.
10.
( Замена
).
11.
( Продифференцировать по
функцию
).
12.
13.
.
(Универсальная подстановка).
14.
( Представить
и, поменяв порядок интегрирования,
получим
Сделав замену
приведем к виду примера 4.
15. Найдем площадь фигуры, ограниченной
кривой
