16.Функция корелляции

Одной из важнейших характеристик случайного процесса является функция корреляции (иначе - функция автокорреляции), которая учитывает статистическую зависимость между значениями случайного процесса в различные моменты времени. ФК определяется как математическое ожидание от произведения значений процесса в два различные момента времени

(1)

где - двумерная плотность распределения

вероятностей процесса .

Анализируя данное выражение, замечаем, что величина интеграла будет больше в тех случаях, когда с увеличением (уменьшением) значений процесса в момент времени будут также увеличиваться (уменьшаться) значения процесса в момент времени . Следовательно, корреляционная функция определяет степень линейной зависимости между значениями случайного процесса в различные моменты времени. Чем быстрее изменяется случайный процесс, тем меньшее значение будет иметь функция корреляции при фиксированных моментах времени и .

Перечислим важнейшие свойства функции автокорреляции (корреляции) для стационарных случайных процессов с нулевым математическим ожиданием:

1. В пределе, при , значения реализации случайного процесса становятся статистически независимыми, следовательно предельное значение функции корреляции .

2. При , выражение (5) превращается в формулу для вычисления мощности (иначе - дисперсии) реализации случайного процесса, т.е.

3. Функция корреляции является четной функцией, т.е.

что следует из свойства инвариантности к направлению временного сдвига плотности распределения стационарного случайного процесса

4. Корреляционная функция всегда максимальна при .

17.Энергетический спекрт случайного процесса

Неслучайная функция

имеющая размерность мощности на единицу полосы частот, называется спектральной плотностью мощности или энергетическим спектром стационарного случайного процесса. Введение энергетического спектра вместо спектральной плотности амплитуд является обобщением гармонического анализа на случайные процессы.

Более строго энергетический спектр стационарного случайного процесса определяется теоремой Хинчина-Винера, согласно которой энергетический спектр и корреляционная функция являются парой преобразования Фурье:

(

Следовательно, энергетический спектр стационарного случайного процесса является обычным амплитудным спектром корреляционной функции. Данное обстоятельство используется в настоящей лабораторной работе при нисхождении, энергетического спектра исследуемого случайного процесса. Для чего в начале определяется функция корреляции случайного процесса, а затем по ней вычисляется энергетический спектр.

Перечислим основные свойства энергетического спектра. Заметим что , как и - чётная функция частоты и, кроме того, неотрицательна. Из (18) при получим

Следовательно, средняя мощность процесса равна площади под кривой его энергетического спектра, деленной на . Это аналогично равенству Парсеваля для детерминированных процессов.

Для спектральной плотности средней мощности случайного процесса при из (17) получим

т.е. она равна площади под кривой его корреляционной функции