Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)

В общем случае произвольная плоская система сил приводится к главному вектору F'_гл и к главному моменту М_гл относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О:

Было показано, что можно выбрать центр приведения (рис. 1.25, точка С), относительно которого главный момент системы равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей, равной по модулю главному вектору. Определим момент равнодействующей относительно точки О. Учитывая, что плечо ОС силы равно , получаем

Полученное уравнение выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произ­вольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов со­ставляющих сил относительно той же точки.

Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии дей­ствия ее равнодействующей, равен нулю. Рассмотрим применение теоремы Вариньона на конкретных примерах.

Условие равновесия произвольно плоской системы сил

1)При равновесии главный вектор системы равен нулю ( =0).

где - проекция векторов на оси координат.

2) Поскольку точка приведения выбрана произвольно, ясно, что при равновесии сумма моментов сил системы относительно любой точки на плоскости должна равняться нулю:

где А и В – разные точки приведения.

Эти точки не должны лежать на одной прямой.

Условие равновесия произвольно плоской системы сил может быть сформулировано следующим образом:

Для того чтобы твердое тело под действием произвольной плоской системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки в плоскости действия сил равнялось нулю.

Для разных случаев используется три группы уравнений равновесия.

Первая форма уравнений равновесия

Вторая форма уравнений равновесия

Третья форма уравнений равновесия

Для частного случая, если уравновешена система параллельных сил, можно составить только два уравнения равновесия:

. Ось Ох системы координат параллельна линии действия сил.

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах.

Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.

Уметь выполнять проверку правильности решения.

Очень часто в машинах и конструкциях встречаются тела удлиненной формы, называемыми балками (или балочными системами). Балки в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балки имеют специальные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий.

Виды нагрузок

По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре­доточенной.

Ч асто нагрузка распределена по значительной площадке или ли­нии (давление воды на плотину, давление снега на крышу и т.п.), тогда нагрузку считают распределенной.

В задачах статики для абсолютно твердых тел распределен­ную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой (рис. 1.26).

Рис. 1.26

где q — интенсивность нагрузки; / — длина стерж­ня;

G = ql — равнодей­ствующая распределенной нагрузки.

Применяют следующие виды опор.

Жесткая заделка (защемление) (рис. 6.2)

О пора не допускает перемещений и поворотов. Неизвестными в данном случае являются не только значение и направление реакции, но и точка ее приложения. Заделку заменя­ют двумя составляющими силы R_Ax и R_Ay и парой с моментом M_R.

Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравне­ний в виде

Каждое уравнение имеет одну не­известную величину и решается без подстановок.

Для контроля правильности решений используют дополнитель­ное уравнение моментов относительно любой точки на балке, например В: рис.1.27

Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.28) Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. В этой опоре известны точки приложения опорной реакции – центр ш арнира и ее направление – перпендикуляр к опорной плоскости. Здесь остается неизвестным значение опорной реакции Реак­ция н аправлена перпендикулярно опорной поверхности.

Рис. 1.28

Шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.29) Опора допускает поворот вокруг шарнира, но не допускает никаких линейных перемещений. В данном случае известна только точки приложения опорной реакции – центр шарнира; направление и значение опорной реакции неизвестны и может быть заме­нена двумя составляющими силы вдоль осей координат. Обычно вместо определения значения Рис.1.29

и направления (полной) реакции находят ее составляющие

Балка на двух шарнирных опорах (рис.1.30). Не известны три силы, две из них — вертикальные, следова­тельно, удобнее для определения неизвестных использовать систему уравнений во второй формуле: рис.1.30 Составляются уравнения моментов относительно точек крепле­ния балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку креп­ления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила. Из уравнения определяется реакция R_Bx.

Из уравнения определяется реакция R_By.

Из уравнения определяется реакция R_Ay.

Для контроля правильности решения используется дополни­тельное уравнение рис.1.31

При равновесии твердого тела, где можно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой, удобно использовать систему уравнений в третьей форме (рис. 1.31):