17. Векторный базис на плоскости.

Векторным базисом на плоскости называют любые два неколлинеарных вектора, приведенные к одному началу.

Декартова система координат – система, где базисные вектора взаимно перпендикулярны и их длины равны.

Теорема разложения вектора в базисе: пусть е₁ и е₂ - векторный базис на плоскости, тогда любой вектор может быть представлен в виде линейной координации базисных векторов и единственным образом.

Доказательство теоремы: через конец вектора проведем прямую вектора . Вектор ОМ коллинеарен вектору ( )

получим, что разложен в виде линейной комбинации базисных векторов, так как был любой, то любой вектор можно так разложить.

18. Длина вектора в координатах. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Декартова система координат: для нахождения координат вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующий координат начала. Если вектора имеют координаты (x;y), то

Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов в координатной форме:

Угол между векторами

19. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Их следствия. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором фигуры изучаются в пространстве.

Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы:

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие и не принадлежащие ей.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящую через эту точку.

3. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из них:

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство: возьмем точку принадлежащую прямой. Через две точки проведем прямую, назовем b. Имея две пересекающиеся прямые по аксиоме мы может провести плоскость и притом только одну.

2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит этой плоскости.

Доказательство: пусть a – данная прямая и α - данная плоскость. Проведем через прямую a и точку A плоскость α`. Если плоскость α` совпадает с α, то плоскость α содержит прямую a, что и утверждается теоремой. Если плоскость α` отлична от α, то эти плоскости пересекаются по прямой a`, содержащей две точки прямой a.

3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве:

Прямые, лежащие на одной плоскости, имеющих одну общую точку ,называют пересекающимися.

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Прямые называются скрещивающимися, если они лежат в разных плоскостях.

20. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек

Прямая и плоскость называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку

Прямая и плоскость называются совпадающими, если они имеют 2 или более общих точек

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей на этой плоскости, то прямая и плоскость параллельны.