4. Найпростіші властивості інтеграла Лебега по множині скінченної міри. Нехай – множина скінченної міри.

Теорема 1. .

Доведення. Це випливає безпосередньо з означення, оскільки функція є простою. ►

Теорема 2 (однорідність). Для будь-якої сталої виконується

,

якщо останній інтеграл існує.

Доведення. Ця властивість випливає з означення і відповідної властивості інтеграла простих функцій, і одержуються за допомогою граничного переходу. ►.

Отож, отримуємо наступні сім тверджень.

Теорема 3. Якщо функція є інтегровною на і , то .

Теорема 4. (адитивність). ,

якщо останні два інтеграли існують.

Теорема 5. Для кожної інтегровної на функції

.

Теорема 6 (лінійність). Для будь-яких сталих і

,

якщо останні інтеграли існують.

Теорема 7. Якщо функція є інтегровною на і невід’ємною на , то .

Теорема 8. Якщо майже скрізь на , то

,

якщо принаймні один із цих інтегралів існує.

Теорема 9. Якщо функція є інтегровною на множині і , то .

Приклад 1. Якщо , то і .

5. Ознаки інтегровності функцій на множині скінченної міри.

Теорема 1. Нехай функція є вимірною на множині . Тоді функції і є одночасно інтегрованими на множині і

. (1)

Теорема 2. Якщо функція є вимірною на множині , а функція є інтегрованою на множині і

,

то функція є інтегровною на і

. (2)

Наслідок 1. Обмежена вимірна функція на множині скінченної міри є інтегрованою.

Приклад 1. Функція є інтегровною на будь-якій множині скінченної міри і .

Приклад 2. Нехай – вимірна множина, – її невимірна підмножина. Тоді функція

є невимірною і тому не є інтегровною на . Разом з цим, і тому функція є інтегровною на . Отже, якщо функція є невимірною, то функція може бути інтегровною, а функція , зрозуміло, не є інтегровною (інтеграл Лебега визначається тільки для вимірних функцій).

6. Властивості інтеграла як функції множини на множині скінченної міри.

Теорема 1. Нехай – множина скінченої міри. – скінченна або зліченна множина попарно неперетинних множин скінченої міри. Тоді для кожної інтегрованої на функції виконується

, (1)

причому ряд (1) збіжний абсолютно.

Приклад 1. Нехай функція визначена формулою

Тоді і, отже, є сумовною на кожному проміжку . Водночас,

.

Отже, і не є сумовними на .

Теорема 2. Якщо – скінченна або зліченна множина попарно неперетинних вимірних множин, множина є множиною скінченної міри, функція є інтегрованою на кожній з множин і ряд

є збіжним, то є інтегрованою на і справедлива рівність

.

Приклад 2. .

Приклад 3. .

Теорема 3 (нерівність М.Чебишева). Нехай функція є вимірною та інтегрованою на множині і . Тоді

.

Доведення. Справді, нехай . Тоді

.►

Приклад 4. .

Теорема 4. Якщо

,

то майже скрізь на .

Доведення. Справді, для кожного

.

Тому

.►

Теорема 5 (абсолютна неперервність інтеграла). Нехай функція є інтегрованою на множині . Тоді для кожного знайдеться таке, що для будь-якої вимірної множини , для якої , виконується

.

Приклад 5. Якщо , то , якщо , і .