10. Зв’язок між інтегралами Рімана і Лебега.

Теорема 1. Якщо функція є інтегрованою за Ріманом на скінченному проміжку , то вона інтегрована на за мірою Лебега на і обидва інтеграли є рівними:

де –лінійна міра Лебега на .

Теорема 2. Для абсолютної збіжності невласного інтеграла Рімана

(1)

необхідно і достатньо, щоб функція була інтегровною на за мірою Лебега на . Якщо остання умова виконана, то

, (2)

де –міра Лебега на .

Зауваження 1. Якщо –лінійна міра Лебега на , то для позначення інтеграла Лебега використовують також символи , , , та інші.

3. Вимірний простір. Імовірнісний простір. Простором з мірою називається упорядкована трійка , де –деяка непорожня множина, –деяка сукупність підмножин множини , а –деяка міра, для якої . Якщо , то простір з мірою називається вимірним простором. Якщо –вимірний простір, і , то –також вимірний простір, де –множина тих , які подаються у вигляді , де . Міра називається імовірнісною, якщо . Імовірнісним простором називається вимірний простір, в якому –імовірнісна міра. Імовірнісний простір лежить в основі сучасного підходу до побудови теорії імовірності. Цей підхід запропонований А.Колмогоровим. При цьому на міру накладають деякі додаткові обмеження (міра повина бути повною і зліченно- адитивною, а сукупність множин – утворювати -алгбру). При розгляді вимірного простору як імовірнісного змінюється термінологія: –називається простором елементарних випадкових подій, елементи простору –елементарними випадковими подіями, елементи множини , тобто вимірні множини, –випадковими подіями ( –неможлива подія, –достовірна подія), вимірна функція –випадкова величина, –імовірність випадкової події , послідовності функцій збігається майже скрізь–послідовність випадкових величин збігається з імовірністю (майже напевно) і т.д. Імовірносний простір називається скінченним імовірнісним простором, якщо –скінченна множина і –сукупність всіх підмножин множини . Імовірнісний простір називається зліченним імовірнісним простором, якщо –зліченна множина і –сукупність всіх підмножин множини . При розгляді елементарних імовірнісних задач (кидання кубика, монети) імовірнісний простір є скінченним.