Примеры решения типовых задач
Пример 1.
Найти наибольшее и наименьшее значения
функции
при
.
Решение.
Шаг 1.
Находим область определения функции и
проверяем, содержится ли в ней весь
отрезок.
и отрезок целиком содержится в области
определения.
Шаг 2.
Определяем все критические точки,
попадающие в отрезок. Для этого находим
производную и приравниваем ее к нулю,
решаем полученное уравнение и выбираем
попадающие в отрезок
корни.
Решаем уравнение
Корни уравнения
,
.
Оба корня принадлежат отрезку
.
Шаг 3. Вычисляем значение функции в отобранных точках, а также на концах отрезка.
Шаг 4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения.
Ответ:
Задания для самостоятельной работы
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке.
27.1.
на отрезке
.
27.2.
на отрезке
.
27.3.
на отрезке
.
27.4.
на отрезке
.
27.5.
на отрезке
.
27.6.
на отрезке
.
27.7.
на отрезке
.
27.8.
на отрезке
.
27.9.
,
на отрезке
.
27.10.
,
на отрезке
.
Домашнее задание
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке.
27.11.
на отрезке
.
27.12.
на отрезке
.
27.13.
на отрезке
.
Ответы
27.1.
27.2.
27.3.
27.4.
27.5.
27.6.
27.7.
27.8.
27.9.
27.10.
27.11.
27.12.
27.13.
28. Производные высших порядков
Краткие теоретические сведения
Производной второго
порядка функции
называется производная от производной
первого порядка, т. е.
.
Аналогично, производной п-го
порядка
функции
называется производная от производной
(п-1)-го
порядка, т. е.
.
Теорема.
Если функции
во всех точках интервала
имеет отрицательную вторую производную,
т.е.
,
то функция выпукла на
.
Если же
для любого
,
то функция вогнута на интервале
.
Теорема (достаточное
условие существования точек перегиба).
Если вторая производная
при переходе через точку
,
в которой она равна нулю или не существует,
меняет знак, то точка графика функции
с абсциссой
есть точка перегиба.
Теорема.
Если в точке
первая производная функции
равна нулю, а вторая производная в точке
существует и отлична от нуля, то при
в точке
функция имеет минимум, а при
в точке
функция имеет максимум.
Примеры решения задач
Пример
1.
Найти производную второго порядка
функции
.
Решение.
Шаг 1. Найдем первую производную функции:
.
Шаг 2. Найдем вторую производную
.
Ответ:
Пример
2.
Найти интервалы выпуклости и точки
перегиба функции
.
Решение.
Шаг
1. Найдем
первую производную функции
.
Шаг
2.
Найдем вторую производную
.
Шаг
3.
Решим уравнение:
.
,
.
Шаг 4. Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:
Промежуток |
|
|
Знак |
– |
+ |
Направление выпуклости |
|
|
Так
как
на промежутке
,
то функция выпукла на этом промежутке.
На промежутке
,
следовательно, функция вогнута на
.
Так как при переходе через точку
вторая производная изменяет свой знак,
то
– точка перегиба.
Найдем
значение функции в точке перегиба
.
Ответ: функция выпукла на , вогнута на , – точка перегиба.