Задания для самостоятельной работы

Найдите производные второго порядка.

28.1. 28.2. .

28.3. 28.4.

28.5. 28.6.

Найдите значение третьей производной функции в указанной точке.

28.7. , . 28.8. , .

28.9. , . 28.10. , .

28.11. Материальная точка движется по закону . Найдите ее ускорение в момент времени .

28.12. Материальная точка движется по закону . Найдите ее ускорение в момент времени .

Найдите интервалы выпуклости и точки перегиба функций.

28.13. 28.14.

С помощью второй производной найдите экстремумы функций.

28.15. 28.16.

Домашнее задание

Найдите производные второго порядка.

28.17. 28.18.

Найти значение третьей производной функции в указанной точке.

28.19. , 28.20.

28.21. Материальная точка движется по закону Найдите ее ускорение в момент времени

28.22. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции

Ответы

28.1. 28.2. 28.3.

28.4. 28.5.

28.6. 28.7. 120. 28.8. 28.9. 28.10. 28.11. 8. 28.12. 0,25. 28.13. Функция выпукла при ; вогнута при , , – точки перегиба. 28.14. Функция вогнута при ; выпукла при , – точка перегиба. 28.15. и – точки минимума, – точка максимума. 28.16. – точка минимума. 28.17. 28.18. 28.19. 0. 28.20. 28.21. 4. 28.22. Функция вогнута при и выпукла при и ; и – точки перегиба.

29. Исследование функции с использованием производных

Функция называется четной, если при всех значений х из области определения этой функции .

Функция называется нечетной, если при всех значений х из области определения этой функции

Схема исследования функции

1. Область определения функции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Монотонность, экстремумы.

5. Выпуклость, вогнутость функции, точки перегиба.

6. График функции.

Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать функцию и построить её график.

Решение.

Шаг 1. Найдем область определения функции. Данная функция определена для всех , т.е.

Шаг 2. , , следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

Шаг 3. Пересечение с осью Оy: подставим значение в функцию. . – точка пересечения с осью Оy.

Пересечение с осью Ох. Решим уравнение ,

, . – точка пересечения с осью Ох.

Шаг 4. Найдем производную функции:

.

Найдем критические точки. Решим уравнение .

,

, , , .

Выясним знак производной функции в интервалах , , .

Промежуток
Знак	+	–	+
Монотонность

, ; , .

Шаг 5. Найдем вторую производную функции

Решим уравнение . , .

Выясним знак второй производной функции в интервалах , .

Промежуток
Знак	–	+
Направление выпуклости		

Так как на промежутке , то функция выпукла на этом промежутке. На промежутке , следовательно, функция вогнута на . Так как при переходе через точку вторая производная изменяет свой знак, то – точка перегиба. .

Шаг 6. Построим график функции:

Задания для самостоятельной работы

Исследуйте функцию и постройте её график.

29.1. . 29.2. .

29.3. . 29.4. .

29.5. .

Домашнее задание

29.6. . 29.7. .

Ответы

29.1. , – минимумы, – максимум, , – точки перегиба. 29.2. – максимум, – минимум, – точка перегиба. 29.3. – минимум, – максимум, – точка перегиба. 29.4. – минимум, – максимум, – точка перегиба. 29.5. – минимум, – максимум. 29.6. – максимум, – минимум, – точка перегиба. 29.7. Экстремумов нет, – точка перегиба.

30. Вычисление простейших неопределенных интегралов

Краткие теоретические сведения

Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке , если она дифференцируема на этом промежутке и для всех выполняется равенство .

Например, первообразной функции является функция , так как .

Определение. Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределённым интегралом от функции и обозначается , где – знак интеграла, – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

Восстановление функции по её производной, или, что то же самое, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. . .

2. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е. .

3. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если , , то .

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. .

Таблица основных интегралов

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12) .

Часто при вычислении интегралов приходится вычислять интеграл от линейного выражения . В таких ситуациях следует применять формулу

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Вычислите интеграл .

Решение. Воспользуемся свойствами 3 и 4 и табличными интегралами (5), (2), (3), (9). Получим:

Ответ:

Пример 2. Вычислите интеграл .

Решение. Применим формулу .

.

Ответ:

Задания для самостоятельной работы

Найдите первообразные функции.

30.1. 30.2. 30.3.

Вычислите интегралы.

30.4. 30.5.

30.6. 30.7.

30.8. 30.9.

30.10. 30.11.

30.12. 30.13

30.14. 30.15.

30.16. 30.17.

30.18. 30.19.

Домашнее задание

30.20. Найдите первообразные функции

Вычислите интегралы.

30.21. 30.22.

30.23. 30.24.

30.25. 30.26.

Ответы

30.1. 30.2. 30.3. 30.4. 30.5. 30.6. 30.7. 30.8. 30.9. 30.10 30.11. 30.12. 30.13. 30.14. 30.15. 30.16. 30.17. 30.18.

30.19. 30.20

30.21. 30.22.

30.23. 30.24.

30.25. 30.26.

31. Замена переменной и интегрирование по частям

Краткие теоретические сведения

Метод замены переменной заключается во введении новой переменной интегрирования, т. е. подстановки. При этом заданный интеграл сводится к интегралу, который является табличным или к нему приводящимся.

Теорема 1. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке и пусть – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве функция имеет первообразную, то на множестве справедлива формула

. (1)

Формула (1) – формула замены переменной в неопределённом интеграле.

Теорема 2. Пусть функции и определены и дифференцируемы на некотором промежутке и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке функция также имеет первообразную и справедлива формула

(2)

Формула (2) – формула интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

Т.к. , то формулу (2) можно переписать в виде

(2')

Применять формулу (2) следует, когда интеграл в правой части более прост для нахождения, нежели исходный. Рассмотрим два класса функций , которые целесообразно интегрировать по частям, и укажем, что в этих случаях при представлении подынтегрального выражения в виде произведения следует принять за , а что за . Ниже через обозначен многочлен.

.

.