Энергия электрона в атоме водорода

Ядром атома водорода является протон — положительно заряженная элементарная частица. По величине заряд протона +е1,6·10^-10 Кл равен заряду электрона. Масса протона в 1837 раз больше массы электрона. Потенциальная энергия электрона в электростатическом поле протона равна

. (2.14)

Электрон вращается по орбите со скоростью (1.9), поэтому его кинетическая энергия

. (2.15)

Полная энергия электрона в атоме водорода равна

(2.16)

и составляет половину его потенциальной энергии.

Чтобы оторвать электрон от атома водорода, то есть перевести его с первой орбиты r₁, в бесконечность, надо затратить работу:

. (2.17)

Эта работа носит название энергии ионизации атома. Для атома водорода r₁=0,58 Å=0,58·10^-10 и энергия ионизации равна

10^-18 Дж. (2.18)

Часто энергии ионизации атомов приводят в расчете на один моль, то есть рассчитывают энергию ионизации атомов, количество которых равно числу Авогадро N_A=6·10²³ моль^-1. Тогда энергия ионизации водорода будет W_ион=10^-18·10²³=6·10⁵ Дж/моль. Это очень большая величина, поэтому в обычных условиях атомы водорода не ионизированы (чтобы нагреть 1 моль воды до кипения, надо 1,8 ккал/моль, а чтобы превратить эту воду в пар, требуется 9,7 ккал/моль).

Зависимость энергии электрона от расстояния до ядра (протона) в атоме водорода показана на рис. 2.5. Энергия отрицательна, так как мы отсчитываем её от «нулевой конфигурации» при r → ∞. Чем дальше от ядра находится электрон, тем больше его энергия. Это означает, что удалить электрон можно, лишь сообщив ему дополнительную энергию.

Согласно квантово-механическим представлениям, радиусы орбит электронов в атоме не могут быть произвольны. Если n – номер орбиты, то радиусы разрешенных орбит имеют определенные дискретные значения r_n=r₁n². На рис. 2.5 показаны радиусы

Рис. 2.5. Радиусы орбит и энергетические уровни электрона

в атоме водорода

разрешенных орбит в атоме водорода и энергии электрона на этих орбитах (энергетические уровни). Как видно, вторая орбита находится вчетверо дальше от ядра, чем первая орбита. Радиус третьей орбиты в 9 раз больше первой и т.д. Соответственно энергетические уровни электрона в атоме водорода также дискретны.

Энергия электрона на орбите с номером п равна

. (2.19)

При переходе с орбиты номера k на орбиту с номером п излучается энергия

. (2.20)

В о п р о с: рассчитайте энергию электрона на пятой орбите. Какая энергия излучится при переходе с пятой орбиты на первую?

Электрическую потенциальную энергию заряда q в поле другого заряда Q и гравитационную потенциальную энергию тела массой т в поле тяготения Земли М можно представить следующим образом:

W_эл(r)=φ_элq

W_гр(r)=φ_грm (2.21)

Величина φ называется потенциалом и характеризует свойства электрического или гравитационного полей.

Таблица 1

Силы и потенциалы различных систем

Система	Сила	Потенциальная энергия	Потенциал
Упругая пружина	Fупр =-kx
Два одноименных заряда
Два разноименных заряда
Тело в поле тяготения

Итак, зная консервативную силу F(r), можно найти потенциальную энергию W_пот,(r). Рассмотрим теперь обратную задачу: зная потенциальную энергию W_пот,(r), определим величину силы F(r). Из табл. 1 легко увидеть, что сила равна производной от потенциальной энергии по расстоянию, взятой с обратным знаком:

(2.22)

Эта формула является очень полезной и мы часто будем ей пользоваться.

Потенциальная энергия взаимодействия молекул

Взаимодействия между нейтральными (незаряженными) атомами или молекулами называют ван-дер-ваальсовыми взаимодействиями. Природа ван-дер-ваальсовых сил — электрическая. Установлено, что нейтральные атомы и молекулы притягиваются на небольшом расстоянии, но отталкиваются, если их плотнее придвигать друг к другу.

Потенциальная энергия взаимодействия между двумя нейтральными атомами или молекулами описывается формулой Леннард-Джонса:

. (2.23)

Формула Леннард—Джонса — эмпирическая, то есть она не выведена, а подобрана так, чтобы хорошо описывать экспериментальные данные. Характерные постоянные А и В зависят от вида выбранной пары атомов или молекул и приводятся в справочниках (попробуйте сами сообразить, имеют ли размерность постоянные А и В?)

Согласно формуле 2.23 потенциальную энергию двух нейтральных атомов или молекул можно представить как сумму двух членов: W₊=A/r¹² и W_-=-В/r⁶. На рис. 2.6 пунктиром приведена зависимость W₊ и W_- от расстояния r между центрами атомов, а сплошной кривой дана зависимость полной потенциальной энергии W_ат= W₊ +W_- от r.

Рис. 2.6. Зависимость потенциальной энергии межмолекулярных взаимодействий от расстояния между центрами атомов

Как видно из рис. 2.6, для потенциальной энергии взаимодействия атомов характерен минимум («потенциальная яма»). «Потенциальная яма» характеризуется глубиной — ε, а расстояние r₀ носит название ван-дер-ваальсова радиуса атома (или молекулы). Итак,

W_ат(r₀) =-ε, (2.24)

W_ат(r₀) = min. (2.25)

Поскольку в точке экстремума производная функция обращается в ноль, условие 2.25 можно записать в виде

. (2.26)

Параметры ε и r₀ характеризуют природу атома или молекулы (табл. 2). Для большинства атомов величины ван-дер-ваальсовых радиусов r₀/2 составляют несколько ангстерм (1Å=10^-10м). Глубина «потенциальной ямы» ε, то есть потенциальная энергия атомов при их наиболее благоприятном расположении, обычно невелика. Как правило, она меньше, чем величина кинетической энергии хаотического беспорядочного движения атомов, которая при комнатной температуре составляет 3,7 кДж/моль. Поэтому в обычных условиях большинство нейтральных атомов находятся в газообразном состоянии, то есть не связаны друг с другом.

Таблица 2