Глава 10. Функциональные устройства на операционных усилителях

Рис. 10.15. Амплитудно-частотные характеристики фильтров

четвертого порядка. 1 – фильтр с критическим затуханием;

2 – фильтр Бесселя; 3 – фильтр Баттерворта;

4 – фильтр Чебышева с неравномерностью 3 дБ.

§5. Фильтры верхних частот

Используя логарифмическое представление, можно перейти

от нижних частот к верхним, зеркально отобразив амплитудно-

частотную характеристику коэффициента передачи относительно

частоты среза, т.е. заменив Ω на 1 Ω или S на 1 S . При этом

частота среза остается без изменения, а K 0 переходит в K беск .

Из выражения (10.13) при этом получим

W (S ) =

∏ (1 + a i S + bi S

i

K∞

2

)

.

(10.14)

Полосовые фильтры

Аналогично, путем замены переменных, можно преобразо-

вать амплитудно-частотную характеристику фильтра нижних ча-

стот в амплитудно-частотную характеристику полосового фильт-

ра. Для этого в передаточной функции фильтра нижних частот

необходимо произвести следующую замену переменных:

– 209 –

Л.В. Кропочева. «Усилительные устройства»

1 1(10.15)S +  .

∆Ω S

В результате такого преобразования АЧХ фильтра нижних

частот в диапазоне 0〈ω〈1 переходит в правую часть полосы про-

пускания полосового фильтра (1〈 Ω〈 Ω макс ) . Левая часть полосы

пропускания является зеркальным отображением в логарифми-

ческом масштабе правой части относительно средней частоты

полосового фильтра Ω = 1 . При этом Ω мин = 1 Ω макс . Рис. 10.16

иллюстрирует такое преобразование.

S→

Рис. 10.16. Преобразование нижних частот в полосу частот

Нормированная ширина полосы пропускания фильтра

∆Ω = Ω макс − Ω мин может выбираться произвольно. Из рис. 10.16

видно, что полосовой фильтр на частотах Ω макс и Ω мин обладает

таким же коэффициентом передачи, что и ФНЧ при Ω = 1 . Если

параметры ФНЧ нормированы относительно частоты среза, на

которой его коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ, то зна-

чение ∆Ω также будет нормированной шириной полосы пропус-

кания. Учитывая, что

∆Ω = Ω макс − Ω мин и Ω макс + Ω мин = 1 ,

получим выражение для вычисления нормированных частот

среза полосового фильтра, на которых его коэффициент передачи

уменьшается на 3 дБ:

Ω мин макс =

1

2

(∆Ω)2 + 4 ± 1 ∆Ω .

2

– 210 –

Глава 10. Функциональные устройства на операционных усилителях Избирательный (селективный) фильтр предназначен для вы-

деления из сложного сигнала монохромной составляющей и, по

сути, является узкополосным полосовым фильтром. Фильтры этого

типа имеют АЧХ, подобные амплитудно-частотным характерис-

тикам колебательных LC-контуров. Характерным для этих филь-

тров является пик АЧХ в области резонансной частоты f p . Ха-

рактеристикой избирательности фильтра является добротность Q ,

определяемая как отношение резонансной частоты к полосе про-

пускания, т.е.

Q = f

p ( f макс − f мин ) = 1 (Ω макс − Ω мин ) = 1 ∆Ω . (10.16)

Простейший полосовой фильтр можно получить, применив

преобразование (10.15) к передаточной функции ФНЧ первого

порядка (10.10). В результате получим:

W (S ) =

1+

K0

1 1

S + S 

∆Ω 

=

K 0 ∆ΩS

1 + ∆ΩS + S

2

.

(10.17)

Подставив выражение для добротности (10.16) в соотноше-

ние (10.17), получим передаточную функцию полосового фильтра

1

S +S2

Q

Это выражение дает возможность определить основные па-

раметры полосового фильтра второго порядка непосредственно

из его передаточной функции.

1+

Заграждающие (режекторные) фильтры

W (S ) =

(K 0

Q )S

.

(10.18)

Для выборочного подавления составляющих определенных

частот необходим фильтр, коэффициент передачи которого на ре-

зонансной частоте равен нулю, а для нижних и верхних частот

имеет постоянное значение. Такой фильтр называется загражда-

ющим. Для оценки избирательности введем добротность подав-

ления сигнала Q = f p ∆f , где ∆f – полоса частот, на краях кото-

– 211 –

Л.В. Кропочева. «Усилительные устройства»

рой коэффициент передачи падает на 3 дБ. Чем больше доброт-

ность фильтра, тем быстрее возрастает коэффициент передачи

при удалении от резонансной частоты.

Передаточную функцию заграждающего фильтра можно по-

лучить из передаточной функции ФНЧ с помощью преобразова-

ния в частотной области заменой:

S→

∆Ω .

S +1 S

(10.19)

Здесь ∆Ω = 1 Q , как и ранее, нормированная полоса частот.

В результате такого преобразования АЧХ фильтра нижних частот

из области 0〈Ω〈1 переходит в область пропускаемых частот

0〈 Ω〈 Ω 1 заграждающего фильтра. Кроме того, она зеркально ото-

бражается в логарифмическом масштабе относительно резонан-

сной частоты. Для резонансной частоты Ω = 1 значение переда-

точной функции равно нулю. Как и в случае полосовых фильтров,

при преобразовании порядок фильтра удваивается.

Применив преобразование (10.19) к передаточной функции

ФНЧ первого порядка (10.10), получим:

W (S ) =

K 0 1+ S 2

(

)

2

1 + ∆ΩS + S

=

1 + (1 Q )S + S

K0 1+ S 2

(

)

2

.

(10.20)

Подставив jω вместо S в выражение (10.20), получим час-

тотную характеристику заграждающего фильтра.

Реализация фильтров на операционных усилителях

С ростом порядка фильтра его фильтрующие свойства улуч-

шаются. На одном ОУ достаточно просто реализуется фильтр

второго порядка. Для реализации фильтров нижних частот, выс-

ших частот и полосовых фильтров широкое применение нашла

схема фильтра второго порядка Саллена – Ки. На рис. 10.17 при-

веден ее вариант для ФНЧ. Отрицательная обратная связь, сфор-

мированная с помощью делителя напряжения R3 , (α − 1)R3 , обес-

печивает коэффициент усиления, равный α . Положительная об-

– 212 –