Задача к2 Исследование плоскопараллельного движения твердого тела

Плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна B, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O₁ и O₂ шарнирами (рис. К2.0-К2.9). Длины стержней: = 0,4 м, = 1,2 м, = 1,4 м, = 0,8 м. Положение механизма определяется углами , , γ, , , которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех рисунках и точка К на рис. К2.7-К2.9 в середине соответствующего стержня. Определите величины, указанные в таблице в столбце «Найти». Найти также ускорение а_А точки А стержня 1, если стержень 1 имеет а данный момент времени угловое ускорение .

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т.е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис.1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 – от стержня АЕ по ходу часовой стрелки.

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом , ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость v_В – от точки В к b.

Указания. Задача К2 - на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела, мгновенным центром скоростей.

Таблица К2

Номер условия	Углы					Дано			Найти
	º	º	γº	º	º	ω1, 1/с	ω4, 1/с	υВ, м/с
0	30	150	120	0	60	2	-	-	υВ, υЕ, ω2
1	60	60	60	90	120	-	3	-	υА, υD, ω3
2	0	120	120	0	60	-	-	10	υA, υЕ, ω2
3	90	120	90	90	60	3	-	-	υВ, υЕ, ω2
4	0	150	30	0	60	-	4	-	υВ, υA, ω2
5	60	150	120	90	30	-	-	8	υA, υЕ, ω3
6	30	120	30	0	60	5	-	-	υВ, υЕ, ω3
7	90	150	120	90	30	-	5	-	υA, υD, ω3
8	0	60	30	0	120	-	-	6	υA, υЕ, ω2
9	30	120	120	0	60	4	-	-	υВ, υЕ, ω3

Пример К2. Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат.

Дано: ОА=10 см; АВ=10 см; АС=5 см; ωОА= 2 рад/с; εОА= 6 рад/с2;_______________ Найти: vB, vC, aB, aC, εАВ, ωАВ.

Рис. 6

Решение: 1) Определим окружную скорость точки А: vА=ОА·ОА=2·10=20 см/с. 2) Построим мгновенный центр скоростей РАВ для звена АВ. Он располагается на пересечении перпендикуляров, проведённых к скоростям. Скорость точки А перпендикулярна кривошипу ОА. Скорость ползуна В направлена по горизонтали. 3) Определим угловую скорость звена АВ:

Рис. 7

_АВ= v_А / АР_АВ;

где АР_АВ – расстояние от точки А до полюса, которое является катетом прямоугольного равнобедренного ΔАРВ:

_АВ=20/10=2 рад/с;

Т.к. полученный ΔАРВ – прямоугольный и равнобедренный, то

v_А=v_В/cos45°=20/ cos45°=28,28 см/с.

Определим скорость точки С:

v_С=_АВ·СР_АВ ;

где СР_АВ – расстояние от точки С до полюса, определяется по теореме Пифагора:

см;

v_С =2·11,18=22,36 см/с.

4) Определим ускорение точки А. Оно геометрически складывается из нормального и касательного ускорений: .

Нормальное ускорение определяется по формуле:

=2²·10=40 см/с²;

Касательное ускорение определяется по формуле:

см/с².

_{5) Определим ускорение точки В:}

,

где вектор нормальное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А; вектор направлен вдоль звена АВ в сторону точки А;

=2²·10=40 см/с²;

- вектор касательного ускорения точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А; вектор направлен перпендикулярно звену АВ; т.к. его направление пока неизвестно, направим его в произвольную сторону; линия действия вектора направлена горизонтально, его величина и направление пока неизвестны, задаём направление произвольно.

Рис. 8

Спроецируем векторы ускорений на оси Ох и Оу. Ось Ох направляем вдоль шатуна АВ, ось Оу ей перпендикулярна:

;

.

Из уравнений находим:

= - 141,4 см/с²;

знак минус показывает, что вектор направлен в сторону, противоположную указанному на рисунке;

-60 см/с²,

знак минус показывает, что вектор направлен в сторону, противоположную указанному на рисунке.

6) Определим угловое ускорение звена АВ:

ε_АВ = =6 рад/с².

Ответ. v_В = 28,3см/с, v_С = 22,36см/с, ω_АВ =2рад/с, а_А=72,1см/с², а_В = 141,4см/с², = 40см/с², = 60 см/с², = 40 см/с², = -60 см/с², ε_АВ = 6 рад/с²