Расчетно-графическая работа №3 динамика Задача д1

Динамика материальной точки. Дифференциальные уравнения движения материальной точки (решение основной задачи динамики).

Груз D массой m, получив в точке A начальную скорость v₀, движется в изогнутой трубе AВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0-Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза (направлена против движения).

В точке B груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила , проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или время t₁ движения груза от точки A до точки B, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. х=f(t), где x=BD. Трением груза о трубу пренебречь.

Таблица Д1

Номер условия	m, кг	v0, м/с	Q, Н	R, Н	l, м	t1, с	Fx, Н
0	2,4	12	5	0,8v2	1,5	-	4sin(4t)
1	2	20	6	0,4v	-	2,5	-5cos(4t)
2	8	10	16	0,5v2	4	-	6t2
3	1,8	24	5	0,3v	-	2	-2cos(2t)
4	6	15	12	0,6v2	5	-	-5sin(2t)
5	4,5	22	9	0,5v	-	3	3t
6	4	12	10	0,8v2	2,5	-	6cos(4t)
7	1,6	18	4	0,4v	-	2	-3sin(4t)
8	4,8	10	10	0,2v2	4	-	4cos(2t)
9	3	22	9	0,5v	-	3	4sin(2t)

Указания. Задача Д1 - на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения на участке АВ или его длину, определить, какую скорость будет иметь груз в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая, что в этот момент времени t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина участка, целесообразно перейти а уравнении к переменному х, учтя, что

.

Пример Д1. Тело движется из точки А по участку АВ наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ с тело в точке В со скоростью v_B покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью v_C; при этом оно находится в воздухе Т с.

Дано: vA =0; α=45º; l = 10 м; τ =2с;_____________________ Найти: f и уравнение траектории на участке ВС. Решение: Рассмотрим движение тела на участке АВ. На тело действуют силы: вес , нормальная реакция и сила трения .

Рис. 12

Составим дифференциальное уравнение движения на участке АВ:

; ;

где сила трения F=f·N, где N=G·cosα. , . Интегрируя дифференциальное уравнение дважды получаем: ; .

Рис. 13

Определим постоянные интегрирования. Начальные условия задачи: при t=0 x₁₀=0 и =0. Подставим начальные условия в два предыдущих уравнения и получим:

; , отсюда получаем постоянные: С₁=С₂=0.

Окончательно: ;

.

Для момента времени τ, когда тело покидает участок x₁= l и = v_B,

т.е. ;

.

Разделим второе уравнение на первое и получим: l /v_B = τ/2. Отсюда v_B=2l/τ=2·10/2=10м/с.

Определим коэффициент трения из первого уравнения:

.

Рассмотрим движения тела на участке ВС. На тело действует только сила тяжести . Составим уравнения его движения:

; .

Начальные условия для задачи: при t=0 x₀=0; = v_B·cosα; y₀=0; = v_B·sinα.

Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:

; ;

; .

Напишем полученные уравнения для t=0:

; ;

; .

Отсюда ; ; ; ; .

Окончательно получим:

; ;

; .

Уравнение траектории на участке ВС получим, исключив параметр t из уравнений движения:

- уравнение параболы.

Подставим в уравнение известные значения и окончательно получим:

.

Ответ: коэффициент трения f =0,28; уравнение траектории на участке ВС .