Реализация типовых заданий

Задание 1

Таблица 6.1 – Исходные данные для построения системы взаимозависимых уравнений

Годы	Годовое потребление свинины на душу населения, кг	Оптовая цена за 1 кг свинины, руб.	Доход на душу населения, руб.	Расходы по обработке мяса, % к цене
1	60	5,0	1300	60
2	62	4,0	1300	56
3	65	4,2	1500	56
4	62	5,0	1600	63
5	66	3,8	1800	50
Итого	315	22,0	7500	285

Составим систему структурных уравнений:

Для выбора метода оценки параметров проверим систему на идентифицированность.

Необходимое условие:

В модели 2 предопределенные переменные: , и такое же количество эндогенных переменных: и . Следовательно, М=2 и К=2.

Проверим необходимое условие для каждого уравнения системы.

Для первого уравнения:

k₁=2; m₁=1

M-m₁=1=k-1=1 следовательно, уравнение точно идентифицировано.

Для второго уравнения:

k₂=2; m₂=1

M-m₂=1=k-1=1 следовательно, уравнение точно идентифицировано.

Так как оба уравнения точно идентифицированы, система в целом тоже точно идентифицирована.

Достаточное условие:

Для того чтобы уравнение было точно идентифицируемым, достаточно чтобы ранг матрицы А (матрица коэффициентов при переменных, не входящих в данное уравнение) был равен (К-1).

Так в нашем примере система состоит только из двух уравнений, то данное условие не проверяется.

Для определения параметров точно идентифицированной модели применяется КМНК.

На первом этапе структурную форму преобразуем в приведенную форму:

Параметры модели А₁₁, А₁₂, А₂₁, А₂₂ определяются с помощью традиционного МНК. Найдем данные параметры используя функцию Excel Сервис– Анализ данных– Регрессия (при этом необходимо учесть, что в уравнениях отсутствует свободный член). Результаты регрессионного анализа приведенной формы представлены на рисунке 6.1.

Рисунок 6.1 – Результаты регрессионного анализа уравнений приведенной формы

Следовательно, приведенная форма примет вид:

На следующем этапе определим коэффициенты структурной модели.

В первом уравнении структурной формы в правой части присутствуют переменные и . Следовательно, необходимо из второго уравнения выразить переменную через переменные и . Получим: . Подставим полученное выражение в первое уравнение и приведем подобные слагаемые: Во втором уравнении структурной формы в правой части присутствуют переменные и . Следовательно, необходимо из первого уравнения выразить переменную через переменные и . Получим: . Подставим полученное выражение в первое уравнение и приведем подобные слагаемые: Таким образом, структурная форма модели примет вид:

Рассчитаем по полученным уравнениям теоретические значения и . Результаты расчетов представлены на рисунке 6.2.

Рисунок 6.2 – Фактические и расчетные значения переменных и

Задание 2

Таблица 6.2 – Исходные данные для построения модели –I Клейна

Годы	CN	Pt	Pt-1	W1	W2	I	Kt-1	Et	Et-1
1921	41,9	12,4	12,7	25,5	2,7	-0,2	182,8	45,6	44,9
1922	45,0	16,9	12,4	29,3	2,9	1,9	182,6	50,1	45,6
1923	49,2	18,4	16,9	34,1	2,9	5,2	184,5	57,2	50,1
1924	50,6	19,4	18,4	33,9	3,1	3,0	189,7	57,1	57,2
1925	52,6	20,1	19,4	35,4	3,2	5,1	192,7	61,0	57,1
1926	55,1	19,6	20,1	37,4	3,3	5,6	197,8	64,0	61,0
1927	56,2	19,8	19,6	37,9	3,6	4,2	203,4	64,4	64,0
1928	57,3	21,1	19,8	39,2	3,7	3,0	207,6	64,5	64,4
1929	57,8	21,7	21,1	41,3	4,0	5,1	210,6	67,0	64,5
1930	55,0	15,6	21,7	37,9	4,2	1,0	215,7	61,2	67,0
1931	50,9	11,4	15,6	34,5	4,8	-3,4	216,7	53,4	61,2
1932	45,6	7,0	11,4	29,0	5,3	-6,2	213,3	44,3	53,4
1933	46,5	11,2	7,0	28,5	5,6	-5,1	207,1	45,1	44,3
1934	48,7	12,3	11,2	30,6	6,0	-3,0	202,0	49,7	45,1
1935	51,3	14,0	12,3	33,2	6,1	-1,3	199,0	54,4	49,7
1936	57,7	17,6	14,0	36,8	7,4	2,1	197,7	62,7	54,4
1937	58,7	17,3	17,6	41,0	6,7	2,0	199,8	65,0	62,7
1938	57,5	15,3	17,3	38,2	7,7	-1,9	201,8	60,9	65,0
1939	61,6	19,0	15,3	41,6	7,8	1,3	199,9	69,5	60,9
1940	65,0	21,1	19,0	45,0	8,0	3,3	201,2	75,7	69,5
1941	69,7	23,5	21,1	53,3	8,5	4,9	204,5	88,4	75,7

Проверим модель на идентифицируемость.

В модели 3 эндогенные переменные: , , . Следовательно, К=3.

И 6 предопределенных переменных: , , , . Следовательно, М=6.

Проверим необходимое условие идентификации:

В первом уравнении m₁=3, k=1. 6-3=3>1-1=0. Следовательно, уравнение сверхидентифицированно.

Во втором уравнении m₂=3, k=1. 6-3=3>1-1=0. Следовательно, уравнение сверхидентифицированно.

В третьем уравнении m₃=2, k=1. 6-2=4>1-1=0. Следовательно, уравнение сверхидентифицированно.

Проверим достаточное условие идентификации:

В первом уравнении отсутствуют , , . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

. Ранг данной матрицы равен 2=К-1=3-1. Следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Во втором уравнении отсутствуют , + , , . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

. Ранг данной матрицы равен 2=К-1=3-1. Следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

В третьем уравнении отсутствуют , + , , . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

. Ранг данной матрицы равен 2=К-1=3-1. Следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Таким образом, можно сделать вывод, что исследуемая модель сверхидентифицированна и может быть решена двухшаговым методом наименьших квадратов.

1 шаг. Составим приведенную форму модели:

2 шаг. С помощью традиционного МНК оценим параметры приведенной формы модели. Получим следующие результаты (рисунок 6.3).

Рисунок 6.3 – Вывод итогов регрессионного анализа системы приведенных уравнений

Оцененная приведенная форма модели примет вид:

3 шаг. Определим расчетные значения переменной , т.к. она фигурирует в качестве фактора в структурной форме модели.

Рисунок 6.4 – Расчетные и фактические значения переменной

4 шаг. Определяем параметры каждого уравнения в отдельности традиционным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенной переменной . Результаты представлены на рисунках 6.5-6.7.

Таким образом, система структурных уравнений примет вид:

Все полученные уравнения статистически значимы по F – критерию.

Рассчитаем по ним теоретические значения эндогенных переменных и проведем графический анализ (рисунок 6.8). Как видно на рисунке, теоретические значения незначительно отклоняются от фактических, следовательно полученная модель адекватна изучаемым процессам.

Рисунок 6.5 – Результаты МНК- оценивания первого уравнения структурной формы ( )

Рисунок 6.6 – Результаты МНК- оценивания второго уравнения структурной формы ( )

Рисунок 6.7 – Результаты МНК- оценивания третьего уравнения структурной формы ( )

Рисунок 6.8 – Сравнительный графический анализ теоретических и фактических значений эндогенных переменных