Критерий Дарбина – Уотсона

Для проверки автокорреляции первого порядка необходимо рассчитать критерий Дарбина—Уотсона. Он определяется так:

Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. При сравнении расчетного значения статистики (DW<2) с d_l и d_u возможны следующие варианты.

1. Если DW< d_l , то гипотеза Н₀ отвергается

2. Если DW > d_u, то гипотеза Н₀ не отвергается.

3. Если d_l< DW< d_u, то нельзя сделать определенного вывода по имеющимся исходным данным (зона неопределенности).

При DW > 2, то с табличными значениями сравнивается величина (4-DW).

Рисунок 3.10 – Расчет критерия Дарбина – Уотсона

В результате проведенных расчетов получено значение критерия Дарбина - Уотсона DW=2,2032 (рисунок 3.10). Так как оно больше 2, то с критическими значением сравниваем величину 4-DW=1,7967. Оно больше d_u следовательно мы не можем отвергнуть гипотезу Н₀ – в ряду остатков отсутствует автокорреляция первого порядка.

Q-тест Льюинга – Бокса

Использование данного теста предполагает использование Q- статистики, значение которой определяется по формуле:

где - выборочные значения автокорреляционной функции;

- величина лага;

n – число наблюдений.

Q- статистика имеет - распределение с степенями свободы. Если Q - статистика меньше табличного , то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.

Рассчитаем для нашей задачи Q- статистику. Для этого необходимо определить коэффициенты автокорреляции. Максимальная величина лага не должна превышать ¼ числа наблюдений, т.е. в рассматриваемом примере . Следовательно нужно определить автокорреляции до шестого порядка. Для этого используем функцию Excel сервис–анализ данных –корреляция (рисунок 3.11).

Рисунок 3.11 – Расчет Q-статистики Льюинга - Бокса

Подставив полученное значение в формулу, получим:

.

Табличное значение .

Фактическое значение статистики меньше критического, следовательно, гипотеза принимается, т.е. в ряду остатков отсутствует автокорреляция.

Лабораторная работа № 4

Нелинейная регрессия

Задания

1. Проверить наличие нелинейной связи между результативным признаком и незначимыми факторами по исходным данным лабораторной работы № 1 и рассчитайте параметры уравнений:

   • степенной;

   • показательной;

   • гиперболической регрессии.

2. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. Оцените с помощью F-критерия статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. По значениям характеристик, рассчитанных в 4, 5, 6 пунктах выберете лучшее уравнение регрессии.

Реализация типовых заданий Степенная модель регрессии

Уравнение степенной модели имеет вид: . Для оценивания параметров необходимо провести процедуру линеаризации переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения: . Введем новые переменные: . Тогда уравнение примет вид множественной линейной регрессии: . Для нахождения параметров данного уравнения воспользуемся инструментом анализа данных Регрессия (см. лабораторную работу № 1).

Для расчетов параметров используем данные следующей таблицы (рисунок 4.1).

Рисунок 4.1 – Исходные данные для степенной модели

Результаты регрессионного анализа представлены на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 – Результат применения инструмента Регрессия

Полученное уравнение множественной линейной регрессии будет иметь следующий вид: .

Оценивая параметры данного уравнения, замечаем, что статистически значимым является параметр при X1, (об этом свидетельствует величина р – значение из рисунка 4.2) следовательно, целесообразно строить уравнение степенной регрессии только с данным фактором. В результате получаем равнение следующего вида: (рисунок 4.3).

Рисунок 4.3 – Результат применения инструмента Регрессия

Потенцируя параметр уравнения, получим a=0,93. Следовательно, уравнение примет вид: .

Подставляя в данное уравнение фактические значения x₁, получаем теоретические значения результата (рисунок 4.1 графа 10). По ним рассчитаем показатели:

- тесноты связи – индекс корреляции ;

- коэффициент эластичности ;

- среднюю ошибку аппроксимации ;

- F-критерий Фишера .

Индекс корреляции (рисунок 4.3) - связь между признаками средняя.

Коэффициент эластичности .

Ошибка аппроксимации (рисунок 4.1 графа 11) .

F-критерий Фишера (рисунок 4.3) .

Полученные характеристики указывают, что данная модель является удовлетворительной, но по F-критерию статистически значимой и теснота связи между признаками средняя.