1.2 Загальні положення. Обробка результатів спостережень

Методи математичної статистики при вирішенні задачі узагальнення і визначення основних характеристик техніко - експлуатаційних показників роботи транспорту передбачають наступні етапи:

а) обґрунтування обсягу вибірки, тобто встановлення необхідного числа спостережень, яке дає достатньо надійний результат при заданій (обумовленій) точності (у даній контрольній роботі виконання не потребує);

б) збирання даних та обробка результатів спостережень тобто систематизація статистичних даних ( у даній контрольній роботі вибираються за варіантами п.1.1);

в) статистичне дослідження результатів спостережень.

Загальна сукупність спостерігаємих однорідних об’єктів або їх показників (маси поїзда, простою вагонів, довжини составу, інтервалів між надходженням поїздів до станції, числа вагонів та інше) називається генеральною сукупністю.

Вибірка - це обмежена сукупність спостерігаємих об’єктів із генеральної сукупності, яка дозволяє отримати наближені характеристики генеральної сукупності, оцінити ступінь достовірності отриманих результатів.

Необхідною умовою формування вибірки є її випадковий характер.

Статистичні дані, як правило, подаються у табличній формі, оскільки це не тільки полегшує подальшу обробку, але й вже при попередньому аналізі дає можливість отримати цінні результати і зробити деякі висновки.

Наприклад, за результатами досліджень змінення кількості вагонів у складі вантажних поїздів, що прибувають на сортувальну станцію за звітний період, отримана вибірка у вигляді таблиці 1.2

Таблиця 1.2 – Результати спостережень кількості вагонів у составі поїзда

Дата спостережень	Кількість вагонів у составі xі, ваг.	Всього спостережень nі
1	2	3
20.06.03 25.06.03	44 23 55 … 52 41	15 1 13 … 20 12
Разом	400

Вибірка, що представлена таким чином, називається простою статистичною сукупністю.

При подальшій обробці (систематизації статистичних даних) дані розміщують у порядку збільшення або зменшення, отримуючи таким чином, варіаційний статистичний ряд у вигляді таблиці 1.3.

Таблиця 1.3-Варіаційний статистичний ряд кількості вагонів у составі поїзда

Кількість вагонів у составі поїзда xі, ваг.	Всього спостережень nі
1	2
23 29 34 ... … … 67	1 1 3 … … … 2
Разом	400

Варіаційний статистичний ряд дає можливість попередньо визначити деякі закономірності змінення випадкової величини, що досліджується. Вихідні дані представляються у вигляді таблиці 1.4

Важливою характеристикою спостерігаємої випадкової величини є математичне сподівання, оцінкою якого є середнє арифметичне значення, що може бути розраховане вже на даному етапі

. (1.1)

=51,2 ваг.

———————————————

Таблиця 1.4 – Варіаційний статистичний ряд ________________________

_______________________________________________________________

(найменування величини, що спостерігається)

Значення величини, що спостерігається, xi	Всього спостережень, nі
1	2	1	2	1	2
Разом :

При подальшій систематизації результатів спостережень останні розбиваються на розряди, до яких включаються дані, що знаходяться в деякому інтервалі значень. По можливості розряди мають бути однаковими та зручними для розрахунків та самоконтролю у ході роботи. У практиці математичної статистики найбільш розповсюдженою є кількість розрядів К= 10-20, а при малих вибірках вона може становити К=5-6 (очевидно, що К приймає тільки цілі значення).

У загальному випадку число розрядів визначають за формулою Стерджеса

К=1+3,22ℓqn, (1.2)

де n - обсяг вибірки (загальна кількість спостережень випадкової величини),

n= за завданням).

К=1+3,22ℓq· =

Інтервал розряду, який залежить від розмаху коливань випадкової величини, визначають за формулою

, (1.3)

де x_max та x_min – відповідно максимальне та мінімальне значення випадкової величини.

= ——————————— =

Доцільно, щоб в кожному розряді знаходилось 5 або більш спостережень, якщо таких спостережень 1 або 2, то їх належить об’єднати в один розширений розряд.

Значення, що співпадають з межами інтервалів, можна віднести до попереднього або наступного розряду, наприклад, почергово по мірі їх появи. Розмітку розділів слід вказати в таблиці 1.4

Сформувавши таким чином розряди, варіаційний статистичний ряд перетворюють у статистичний ряд, наприклад, у вигляді таблиці 1.5, за допомогою якого можна наочно отримати основні статистичні характеристики випадкової величини, що досліджується. Розрахунки зводимо до таблиці 1.6.

Таблиця 1.5 – Статистичний ряд спостережень кількості вагонів у составі поїзда

№ розряду ч\ч	Інтервал величини состава (розряд) İ, ваг.	Середнє значення величини состава в розряді xі, ваг.	Число спосте-режень в і-му розряді nі	частість	, ваг.	, ваг2
1	2	3	4	5	6	7
1 2 … … 10	23-31 31-35 … … 63-67	27 33 … … 65	2 7 … … 5	0,005 0,0175 … … 0,0125	0,135 0,577 … … 0,813	3,921 19,20 … … 52,4
Разом			400	1,000	48,665	2407,71

Таблиця 1.6 – Статистичний ряд спостережень_______________________

_______________________________________________________________

^{(найменування величини, що спостерігається)}

№ розряду ч\ч	Інтервал розряду, І ————	Середнє значення величини в розряді, ———	Число спостережень в і-му розряді, nі	Частість	, ________	, ________
1	2	3	4	5	6	7
Разом:

На заключній фазі цього етапу статистичний розподіл випадкової величини представляють у вигляді наочного графіка. Найбільш поширеним способом представлення є ступінчаста гістограма.

Правила побудови ступінчастої гістограми:

а)На вісі абсцис відкладають розряди;

б)На кожному розряді будують прямокутник, площа якого дорівнює частості даного розряду. Тоді висота прямокутника визначається за формулою

. (1.4)

h₁= h₃=

h₂= h₄=

h₅= h₈=

h₆= h₉=

h₇= h₁₀=

Для вибору найбільш раціонального масштабу на вісі ординат необхідно у першу чергу визначити висоту найвищого прямокутника, який відповідає максимальному значенню частості (таблиця 1.6, графа 5). Загальна площа прямокутників гістограми, таким чином, має становити 1,0;

в)З’єднанням середин верхніх сторін прямокутників відрізками прямих ліній отримують статистичний багатокутник розподілу випадкової величини (рисунок1.1).

Рисунок 1.1-Гістограма розподілу кількості вагонів у составі поїзда: 1-ступінчаста гістограма розподілу; 2-статистичний багатокутник розподілу; 3-гіпотетична крива теоретичного розподілу випадкової величини.

Графічне зображення розподілу випадкової величини дозволяє оцінити структуру розподілу та гіпотетично визначити його характер.

10
8
6
4
2

Х, ________

Рисунок 1.2-Гістограма розподілу ____________________________________

(найменування величини,

______________________________________________________:

що спостерігається)

1-ступінчаста гістограма розподілу; 2-статистичний багатокутник розподілу; 3-гіпотетична крива теоретичного розподілу випадкової величини.