Общая теория линий второго порядка

1. Привести общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду путем преобразования прямоугольной системы координат. Построить кривую, заданную данным уравнением, в каждом из следующих случаев:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Сфера. Эллипсоид

1. Составить уравнение сферы с центром в точке О и радиусом R, если

О (2; -1; 3), R = 5.

2. Составить уравнение сферы с центром S (-4; 0; 3), если точка М (-1; 4; 3) принадлежит сфере. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости OYZ и до оси ОХ.

3. Написать уравнение сферы, если:

а) центр сферы О (0; 0; 0) и точка М (6; -2; 3) принадлежит сфере;

б) центр сферы S (1; 4; -7) и сфера касается плоскости .

4. Найти центр и радиус окружности: .

5. Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

6. Исследовать методом сечений поверхность второго порядка, заданную в прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Сделать чертеж.

7. Исследовать методом сечений поверхность второго порядка, заданную в прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Выполнить чертеж.

8. Написать уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, который пересекает плоскость OYZ по эллипсу и проходит через точку

М (1; ; ).

9. Исследовать методом сечений поверхность второго порядка, заданную в прямоугольной декартовой системе координат уравнением:

а) ;

б) .

10. Найти сечение эллипсоида координатными плоскостями канонической системы координат. Выполнить чертеж.

Гиперболоиды, параболоиды

1. Написать каноническое уравнение однополостного гиперболоида, если поверхность проходит через точку ( ; 3; 2) и пересекает плоскость OXZ по гиперболе .

2. Провести исследование поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Сделать чертеж.

3. Провести исследование поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Сделать чертеж.

4 Построить сечения координатными плоскостями поверхностей, заданных следующими уравнениями:

а) ; б) .

5 Составить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы с полуосями 2 и 4 ее мнимой оси, совпадающей с осью OZ. Центр гиперболы совпадает с началом координат. Гипербола лежит в плоскости XOZ. Сделать чертеж.

6 Написать каноническое уравнение однополостного гиперболоида, если поверхность пересекает плоскость OXY по окружности , а плоскость OXZ по гиперболе .

7 Определить вид и провести исследование поверхности второго порядка, заданной уравнением . Построить ее изображение.

8 Определить вид и провести исследование поверхности второго порядка, заданной уравнением . Построить изображение поверхности.

9 Исследовать методом сечений поверхность второго порядка, заданную в прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Сделать чертеж.

11. Исследовать методом сечений поверхность второго порядка, заданную в прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Сделать чертеж.

12. Построить сечения координатными плоскостями поверхностей, заданных следующими уравнениями:

а) ; б) .

13. Сделать чертеж в прямоугольной декартовой системе координат поверхности, заданной уравнением .

14. Исследовать методом сечений поверхность второго порядка, заданную в прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Сделать чертеж.