Линейчатые поверхности. Прямолинейные образующие
Изобразить цилиндрические поверхности, заданные уравнением:
а)
;
б)
;
в)
.
2 Исследовать поверхность второго порядка, заданную в прямоугольной декартовой системе координат уравнением:
а)
;
б)
.
3 Составить уравнение
поверхности, образованной вращением
параболы
,
вокруг оси OZ.
В плоскости XOZ дана окружность с центром в точке (4; 0; 0) радиуса
.
Написать уравнение поверхности вращения,
образованной вращением данной окружности
вокруг оси OZ.
Написать уравнения следующих поверхностей вращения:
а) получающейся
при вращении эллипса
,
вокруг большой (малой) оси;
б) получающейся
при вращении гиперболы
,
вокруг ее действительной (мнимой) оси.
Написать уравнения двух систем прямолинейных, образующих однополостного гиперболоида
,
и определить те из них, которые проходят
через точку М (3;
;
-1).На гиперболическом параболоиде
найти прямолинейные образующие,
параллельные плоскости
.
Найти прямолинейные, образующие гиперболоида, заданного уравнением
,
проходящие через точку А (6; 2; 8).Найти те прямолинейные образующие гиперболического параболоида
,
которые образуют с прямой
угол 45º.Найти прямолинейные образующие однополостного гиперболоида , перпендикулярные оси ОУ.
Найти прямолинейные образующие гиперболического параболоида
,
параллельные плоскости
.
Тема 6. Геометрические преобразования на плоскости Теоретические вопросы
1Определение движения, основная теорема и свойства. Классификация движений.
2 Виды движений: осевая симметрия, параллельный перенос, центральная симметрия, поворот. Определения, способы задания и построение образов точек, свойства.
3 Сущность метода геометрических преобразований при решении задач на доказательство, построение, вычисление.
4 Преобразования плоскости: гомотетия и подобие. Определения, способы задания и построение образов точек, свойства.
5 Аффинные преобразования: определение, основные свойства, примеры.
Задачи
Метод движений
а) задачи на доказательства
На высоте ВД треугольника АСВ взята точка К так, что АК = КС. Доказать, что треугольник АВС равнобедренный.
Построить квадрат, две противоположные вершины которого лежали бы на данной прямой, а две другие – на данных окружностях.
На стороне АВ параллелограмма АВСД, вне его, построен квадрат АВМК, а на стороне СД в той же полуплоскости, что и параллелограмм, построен квадрат СДРЕ. Доказать, что расстояние между центрами квадратов равно стороне параллелограмма.
Две прямые, содержащие точку пересечения диагоналей параллелограмма, пересекают его стороны соответственно в точках М и К, Р и Е. Доказать, что МРКЕ – параллелограмм.
Две равные окружности пересекаются в точках А и В. Через Точку А проведена хорда МА одной окружности, а через точку В – хорда ВК другой окружности, причем МА и ВК параллельны. Доказать, что эти хорды равны.
Дан правильный шестиугольник ABCDEF, М – середина диагонали АС, N – середина стороны DE. Доказать, что треугольник MNF – правильный.
Через центр правильного треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 600. Доказать, что отрезки этих прямых, которые являются их пересечением с треугольником, равны.
б) задачи на построение и вычисление
1 На данной прямой построить такую точку, чтобы сумма расстояний от этой точки до двух данных точек, не лежащих на этой прямой, была наименьшей.
2 Найти площадь трапеции, сумма оснований которой равна 21 см, а диагонали равны 13 см и 20 см.
3Даны две пересекающиеся прямые c и d и две точки А и В, не принадлежащие им. Построить параллелограмм АВСД так, чтобы вершины С и Д лежали соответственно на прямых c и d.
Построить биссектрису угла АОВ, вершина О которого не доступна.
Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились два столба на параллельных сторонах квадрата. Кроме того остался столб в центре участка. Построить границу участка.
Построить параллельные прямые а, b, с, проходящие соответственно через данные точки А, В, С так, чтобы одна из них была средней линией полосы, определяемой двумя другими прямыми.
Построить равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы вершины его острых углов принадлежали данным окружностям, а вершиной прямого угла являлась данная точка.
На сторонах АВ и АС треугольника АВС, вне его построены квадраты ABMN и ACPQ. Найти длину отрезка NQ, если длина медианы АЕ треугольника АВС равна m.
Метод преобразований
Доказать, что точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны равнобедренной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середины оснований трапеции принадлежат одной прямой.
Через точку касания двух окружностей проведены две произвольные прямые, которые пересекают эти окружности в точках А, В и С, Д, причем А и В лежат на одной окружности, С и Д – на другой. Доказать, что АВ ׀׀ СД.
Даны две окружности и точка М. Построить на окружностях соответственно точки А и В, чтобы М АВ и АМ : МВ = 2 : 3.
Построить равнобедренный треугольник, зная угол при его вершине и сумму длин основания и высоты.
Доказать, что отношение площади данного четырехугольника к площади четырехугольника, вершины которого находятся в серединах сторон данного, равно 2 : 1.
Пользуясь только одной линейкой:
а) построить середину отрезка, лежащего на одной из двух данных параллельных прямых;
б) построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную двум данным параллельным прямым, не содержащим точку М.