Угловые кинематические характеристики движения: Угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение. Связь линейных и угловых кинематических характеристик.

При движении материальной точки по окружности постоянного радиуса (рис. 1.11) ее положение можно определить координатами x и y или углом поворота  – углом между радиус-вектором , определяющим положение точки, и осью ОХ.

Рис. 1.11

Если рассматривать вращательное движение твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения, то из рис.1.12 следует, что угол поворота радиусов-векторов, определяющих положение всех точек твердого тела, например, В и С, будет одним и тем же

Δ = ₂ – ₁, линейные же перемещения точек твердого тела будут различными (  ). В связи с этим, если знать закон изменения угла (t) для какой-то произвольной точки вращающегося твердого тела, то тем самым мы будем знать закон движение всех точек этого тела.

Рис. 1.12

При равномерном движении материальной точки по окружности а_ = 0, а_n  0, так как скорость изменяется только по направлению. Пусть за время Δt точка переместилась из положения А в В, радиус-вектор, определяющий положение точки, повернулся на Δ =  – ₀ (рис.1.13).

Рис. 1.13

Скорость изменения угла  есть угловая скорость . При равномерном вращении

(1.18)

Угловая скорость материальной точки равна отношению угла поворота радиуса-вектора, определяющего положение этой точки, к промежутку времени, за который этот поворот произошел.

Из формулы (1.18) следует, что

 = ₀ + t, (1.19)

при t = 0,  = ₀.

По формуле (1.18) мы можем также определить среднюю угловую скорость.

Мгновенная угловая скорость определяется как предел отношения углового перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло при стремлении Δt к нулю, то есть равна первой производной от углового перемещения

(1.20)

Заметим, что движение по окружности может происходить как по часовой стрелке, так и против нее.

Угловая скорость – векторная величина, направленная вдоль оси вращения.

Направление угловой скорости определяется по правилу буравчика. Если вращать буравчик в направлении движения точки, то его поступательное движение укажет направление угловой скорости.

Если ось OZ направлена вверх и совпадает с осью вращения, то, как показано на рис. в случае вращения против часовой проекция угловой скорости положительна, а при вращении по часовой стрелке отрицательна.

Уравнение (1.19) можно переписать в виде:  =  ± t, где  – модуль угловой скорости.

Заметим, что это выражение справедливо, если ось вращения постоянна и точка движется по окружности равномерно.

Угловое ускорение определяет скорость изменения угловой скорости

Угловое ускорение также векторная величина. При постоянной оси вращения направления векторов угловой скорости и ускорения совпадают, если угловая скорость увеличивается и направлены в противоположные стороны в случае ее уменьшения (см. рис. 1.14).

Связь линейных и угловых кинематических характеристик

Длина дуги l_АВ (рис.1.13) равна l_АВ = rΔ, где Δ измеряется в радианах. Разделив левую и правую части равенства на Δt, получим

,

о ткуда v = r. (1.21) В векторном виде связь линейной и угловой скорости запишется в виде: Продифференцировав по времени левую и правую части уравнения (1.21), получим В правой части мы имеем тангенциальное ускорение, а в левой произведение радиуса-вектора на угловое ускорение:

или в векторном виде:

. (1.22)