2. Множення матриць, обернені матриці

2.1. Суперпозиція лінійних відображень

Припустимо, що ми маємо два лiнiйнi вiдображення: з -вимiрного простору в -вимiрний, які задані за допомогою матриць і Тоді сума відображень , яка для кожного вектора визначена формулою , також буде лінійним відображенням. При цьому сумі лінійних відображень відповідає сума відповідних матриць, тобто .

Припустимо, що ми маємо два лiнiйнi вiдображення: з -вимiрного простору в -вимiрний, яке задане за допомогою матрицi , та вiдображення з -вимiрного простору в -вимiрний, задане за допомогою матрицi Маючи два такi вiдображення, можемо утворити їх суперпозицiю , яка для кожного вектора визначена формулою

.

Ось головнi факти, якими ми користуємося при роботi з суперпозицiями лiнiйних вiдображень.

Факт.

1. Суперпозицiя двох лiнiйних вiдображень знову є лiнiйним вiдображенням.

2. Якщо лiнiйне вiдображення задане за допомогою матрицi розмiру

,

а лiнiйне вiдображення задане за допомогою матрицi розмiру

,

то лінійне відображення , яке називається їх суперпозицією, визначається за допомогою матриці розміру , що позначається , тобто . Матриця визначається так: якщо позначити , то

, , .

Останню формулу можна переписати у виглядi Її можна запам'ятати за допомогою правила множення матриць "рядок на стовпчик":

для того, щоб одержати -тий елемент матрицi, яка є добутком двох матриць необхiдно взяти -тий рядок матрицi -тий стовпчик матрицi :

, ,

потiм помножити перший елемент рядка на перший елемент стовпчика, другий елемент рядка на другий елемент стовпчика, -тий елемент рядка на -тий елемент стовпчика, пiсля чого одержанi добутки необхiдно додати.

Застереження. Не довільнi двi матрицi можна перемножити мiж собою! Для цього необхiдно, щоб кiлькiсть стовпчикiв у першого спiвмножника дорiвнювала кiлькостi рядкiв у другого.

Припустимо, що ми маємо три лiнiйнi вiдображення: , та вiдображення . Можемо утворити їх суперпозицiю двома способами: та .

Факт. Суперпозиція лінійних відображень асоціативна; це означає, що для довільного вектора виконується рівність

= .

Так само асоціативним є множення відповідних матриць, тобто , що дає змогу записувати добуток довільної кількості матриць без дужок, наприклад: .

2.2. Розбиття матрицi на рядки I стовпчики та множення матриць

Правило множення матриць "рядок на стовпчик" формулюється простіше, якщо використовувати розбиття матриць на рядки та стовпчики. Нехай -матриця зображена як об'єднання своїх рядкiв, , а -матриця зображена як об'єднання своїх стовпчикiв, . Тодi добуток визначений i має мiсце рiвнiсть

,

де є деяким числом, одержаним множенням рядка на стовпчик .

Наведемо кiлька простих i корисних наслiдкiв з правила "рядок на стовпчик."

Твердження. Нехай матриця зображена, як об'єднання своїх стовпчикiв, . Тодi, якщо – це деяка iнша матриця, така, що добуток визначений, то має мiсце рiвнiсть

,

тобто коли помножити матрицю на кожен зi стовпчикiв матрицi а потiм з утворених добуткiв-стовпчикiв скласти матрицю, то вона буде дорiвнювати

Наприклад, коли матриця мiстить нульовий стовпчик, тодi добуток також буде мiстити нульовий стовпчик.

Аналогiчно, має мiсце твердження для стовпчикiв:

Твердження. Нехай матриця зображена, як об'єднання своїх рядкiв, . Тодi якщо деяка iнша матриця, така, для якої добуток визначений, то тодi має мiсце рiвнiсть .