3.4. Ранг матрицi

Нехай , , є деяка матриця. З цiєю матрицею можна пов'язати двi системи векторiв: системи векторiв-рядкiв та векторiв-стовпчикiв:

, .

Означення. Ранг системи векторiв називається стовпчиковим рангом матрицi . Ранг системи векторiв рядковим рангом матрицi .

Має мiсце важливий факт.

Теорема про ранг матрицi. Для довiльної матрицi , , її рядковий та стовпчиковий ранги дорівнюють один одному.

Пiсля такої теореми має сенс таке визначення.

Означення. Рангом матрицi називається число, що дорiвнює її стовпчиковому i рядковому рангу.

Ранг нульової матриці вважається нульовим за означенням.

Твердження. Ранг матриці не зміниться, якщо над нею виконувати елементарні перетворення рядків або стовпчиків.

Як правило, ранг системи векторiв знаходиться за допомогою теореми про ранг матрицi та елементарних перетворень, користуючись таким твердженням:

Твердження. Ранг системи векторів дорівнює рангові мариці .

Корисним є наступне твердження, що стосується розв'язності систем лінійних рівнянь.

Твердження. Система лінійних рівнянь

є сумісною (тобто має розв'язок) тоді і лише тоді, коли ранг матриці цієї системи дорівнює рангові розширеної матриці системи .

3.5. Поняття лiнiйної оболонки

Означення. Нехай , , є деяка система векторiв простору . Говоримо, що вектор лiнiйно виражається через систему , якщо iснують такi, що .

Вектор лінійно виражається через вектори системи тоді і лише тоді, коли система лінійних рівнянь з розширеною матрицею має розв'язок. Виразити вектор через вектори системи  – це те саме, що знайти розв'язок системи рівнянь .

Лiнiйною оболонкою системи векторiв у просторi називається множина всiх лiнiйних комбiнацiй , де , . Лiнiйна оболонка позначається .

Твердження. Якщо система векторiв є максимальною лiнiйно незалежною пiдсистемою в системi , то тодi довiльний вектор із системи однозначно(!) подається у виглядi лiнiйної комбiнацiї векторiв з пiдсистеми :

, .

Приклад. Нехай .

Якщо , то .

Якщо , то  – пряма, що проходить через початок координат.

Якщо не колiнеарнi, то  – площина, що проходить через початок координат.

Означення. Деякий простір над полем називається скінченновимірним, якщо існує таке натуральне число , що будь-яка система з векторів простору є залежною. Розмірністю скінченновимірного векторного простору над полем називається число, що дорівнює найбільшій кількості лінійно незалежних векторів з простору .

Координатні векторні простори та їх підпростори є скінченновимірними.

Твердження. Лiнiйна оболонка системи векторiв у просторi є пiдпростором простору , розмірність якого дорівнює рангу системи векторів .

Означення. Система векторів лінійного простору над полем називається базисом простору , якщо

• система є лінійно незалежною;

• лінійна оболонка системи векторiв збігається з усім простором .

При цьому розмірність простору збігається з рангом його базису.

Базис простору, на відміну від його рангу, визначений неоднозначно.

Приклад. Система векторів утворює базис числового векторного простору , який називається стандартним базисом. Базисом лінійної оболонки векторів простору буде, наприклад, будь-яка максимальна лінійно незалежна підсистема.

Довільний вектор однозначно розкладається за базисом : . Координатами вектора у базисі називаються коефіцієнти розкладу або вектор-стовпчик, що складається з цих коефіцієнтів: .