Тема 2.
Электростатическое поле в идеальном диэлектрике
Определение.
Электростатическое поле - это постоянное во времени электрическое поле неподвижных зарядов
Такое поле может существовать только в идеальных диэлектриках (которые не содержат свободных зарядов).
Кстати:
Под это определение не подходят сегнетоэлектрики, обладающие хорошими диэлектрическими свойствами, но способные содержать внутри себя свободные заряды. Такие особые свойства этих веществ привели к широкому их использованию в технике и медицине. В частности электретное покрытие оксида тантала используется для стимулирования процессов остеорепарации в костной ткани ортопедических имплантатов.
§-1 Основные уравнения. Граничные условия.
Основные понятия.
С учётом данного выше определения система уравнений Максвелла, которая описывает поле в идеальном диэлектрике, будет иметь вид:
(2.1)
Первое из этих уравнений говорит о том, что электростатическое поле безвихривое, второе – изменение вектора электрического смещения равно объёмной плотности заряда в той точке, где это изменение произошло.
Напомним, что
уравнение связи векторов электрического
смещения и напряжённости электрического
поля имеет вид:
.
При рассмотрении поля в идеальном диэлектрике удобно ввести две дополнительные функции:
Связанный заряд (
).Вектор поляризации (
.
Связанный заряд - это микроскопические заряды, которые входят в состав атомов и молекул. Эти заряды под действием электрического поля смещаются на микроскопические расстояния при этом в объеме (или на поверхности) диэлектрика появляется макроскопический заряд.
Если заряд появился в объёме его описывают с помощью объемной плотности связанного электрического заряда ρсв, на поверхности - с помощью поверхностной плотности связанного электрического заряда σсв.
Представление о процессах формирования связанного электрического заряда удобно проводить на примере сред, состоящих из полярных молекул. Типичный пример – молекула воды, в которой положительный и отрицательный заряды смещены друг относительно друга. В результате – такая молекула может рассматриваться, как элементарный диполь – механически связанный, разнесённые в пространстве одинаковые заряды разного знака. Каждый такой диполь имеет собственное электрическое поле. Без воздействия внешнего электрического поля диполи располагаются хаотично и их суммарное электрическое поле равно нулю (рис.2.1). Под действием внешнего электрического поля диполи изменяют своё положение. Отрицательные заряды стремятся приблизиться к положительному электроду, положительные – к отрицательному. При этом внутри диэлектрика суммарный заряд оказывается равен нулю (количество отрицательных и положительных зарядов равно друг другу). А на поверхности раздела сред возникает некомпенсированный связанный заряд (рис.2.2)
Рис.2.1
Рис.2.2
Вектор поляризации равен разности векторов электрического смещения в среде и в вакууме, при условии, что напряжённости электрического поля в этих средах равны друг другу:
(2.2)
Т.е. вектор поляризации описывает поле, создаваемое связанными зарядами, и его всегда можно найти из уравнения аналогичного третьему уравнению Максвелла:
(2.3)
Замечание:
Минус появился из-за того, что источником вектора поляризации являются отрицательные связанные заряды.
Перепишем третье уравнение Максвелла, заменив в нём вектор электрического смещения в среде на сумму вектора поляризации и смещения в вакууме (2.2):
Преобразуем полученное уравнение к виду:
Перенесём дивергенцию вектора поляризации в правую часть уравнения и заменим вектор смещения на напряжённость электрического поля (1.2), в результате, получим:
Или, с учётом (2.3), окончательно получим:
(2.4)
Источником вектора напряженности электрического поля является сумма свободного и связанного зарядов.
Изменение электростатического поля на границе сред с разными свойствами
Пусть у нас есть
две среды с разными диэлектрическими
проницаемостями
и
.
Разложим вектора напряжённости
электрического поля в средах (
и
)
на составляющие параллельные и
перпендикулярные поверхности раздела
(рис.2.3)
Тогда для касательной составляющей вектора напряжённости поля можно записать (1.11):
для нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.12):
Или, с учётом того, что источником напряжённости электрического поля является сумма свободных и связанных зарядов, для её нормальной составляющей можно записать:
Рис.2.3
Замечания:
Когда речь идёт о границе двух идеальных диэлектриков, т.е. при отсутствии свободных зарядов,
или
Тогда для тангенсов
углов падения и преломления напряжённости
электрического поля можно записать:
и
Отношение этих тангенсов пропорционально отношению диэлектрических проницаемостей сред (закон преломления векторов напряжённости электрического поля):
Когда речь идет о границе проводник – диэлектрик необходимо учесть то, что электростатическое поле может существовать только в диэлектрике. В проводнике оно равно нулю (
).
Тогда:
- на поверхности
проводника нет касательной составляющей
электростатического поля, а нормальная
составляющая равна сумме свободных и
связанных зарядов, которые скопились
на этой поверхности:
Поскольку касательная составляющая напряжённости на поверхности проводящего материала равна нулю, сама напряжённость обязательно перпендикулярна этой поверхности.
§-2 Скалярный потенциал электрического поля
Решать дифференциальные уравнения относительно векторных величин – достаточно сложная задача. Вместо одного уравнения приходится решать систему, записанную относительно проекций векторов на координатные оси. Точно так же сложности возникают и при анализе полученных результатов, когда приходится складывать вектора. Поэтому, в случае, когда это возможно, от решений векторных уравнений лучше отказаться. Одним из таких случаев – расчёт потенциальных полей, т.е. полей, в описании которых отсутствует вихревая составляющая (равны нулю правые части первого и второго уравнений Максвелла).