2.4.1. Потенциал точечного заряда.

Под точечным зарядом мы будем понимать заряженное тело, размеры которого пренебрежимо малы, по сравнению с расстояниями до других зарядов в рассматриваемой системе. Такой подход позволяет нам не «связываться» с бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Для нахождения этого потенциала удобно использовать сферическую систему координат с центром, совпадающим с расположением заряда. В этом случае, в силу сферической симметрии задачи, распределение потенциала в диэлектрической среде будет зависеть только от расстояния от начала координат. И, принципиально трёхмерная задача, сведётся к решению одномерного уравнения Лапласа, которое в сферической системе координат будет иметь вид:

, с граничными условиями

Общий вид решения этого уравнения, можно найти. проинтегрировав его два раза: , где R_N – расстояние до точки отсчёта. Данное выражение можно представить в следующем виде:

, где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования, которые можно найти из граничных условий. При чём С₁ определяется точечным зарядом q, С₂ – выбором точки отсчёта.

Рис.2.4

Замечания:

1. В случае если расстояние до рассматриваемой точки меньше, чем R_N знак потенциала в ней будет совпадать со знаком заряда.

2. В случае если расстояние до рассматриваемой точки больше, чем R_N знак потенциала в ней будет обратным знаку заряда.

3. Если точку отсчёта отнести на бесконечность, получим формулу для кулоновского потенциала:

4. Поверхности равного потенциала представляют собой сферы, центры которых совпадают с местом расположения точечного заряда.

5. Линии напряжённости электрического поля – радиально расходящиеся от поверхности лучи.

6. Потенциал точечного заряда уменьшается обратно пропорционально расстоянию (~1/R).

2.4.2. Потенциал двух точечных зарядов разного знака.

Для нахождения распределения потенциала в данном случае удобно применить метод суперпозиции. Тогда распределение потенциала можно найти из формулы: , где R₁, R₂ – расстояние от точечных зарядов до точки, в которой определяется потенциал, R_N1, R_N2 – расстояние от точечных зарядов до точки отсчёта. Если точка отсчёта находится на одинаковом расстоянии от точечных зарядов (R_N1=R_N2, т.е. мы имеем бесконечное количество точек с потенциалом равным нулю, расположенных на плоскости перпендикулярной линии, соединяющей точечные заряды и проходящей через средину этой линии), формула для расчёта потенциала существенно упростится: .

2.4.3. Электрический потенциал диполя.

Под диполем мы будем понимать два точечных заряда разного знака расположенные на расстоянии, которое пренебрежимо мало, по сравнению с расстояниями до других зарядов в рассматриваемой системе.

Пусть у нас есть два точечных заряда q₁ и q₂, расположенные на расстоянии l друг от друга. Используя принцип суперпозиции распределение потенциала диполя можно найти как сумму потенциалов отдельных точечных зарядов. Если точка отсчёта отнесена на бесконечность, для потенциала в произвольной точке М получим:

,

где R₁, R₂ – расстояние от первого и второго точечного заряда до точки М.

По определению: , и следовательно: расстояния от зарядов до точки М, практически одинаковы ( ), а их разность можно приближённо найти исходя из простейших геометрических соображений:

Тогда выражение для потенциала диполя можно получить в виде:

Введём понятие электрического момента диполя ( ). Тогда: , где - радиус вектор, от центра диполя к точке М

Определить составляющие напряжённости электрического поля можно продифференцировав выражение для потенциала по соответствующим координатам. В результате получим:

Рис.2.5

Замечания:

1. Потенциал диполя уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния (~1/R²), что значительно быстрее, чем в случае точечного заряда.

2. Напряжённость электрического поля диполя убывает как 1/R³.