4. Теплоемкость газов

Теплоемкостью называют количество теплоты, которое необходимо сообщить телу (газу), чтобы повысить температуру какой-либо количественной единицы на 1°С

За единицу количества энергии в системе СИ применяют джоуль (Дж). В качестве тепловой единицы 1 Дж представляет собой такое ее количество, которое появляется в результате превращения механической работы 1 Дж в теплоту. В качестве единицы механической энергии джоуль представляет собой работу, совершаемую силой, равной 1 ньютону при перемещении ею тела на расстояние 1 м в направлении действия силы (1 Дж =Н·м=1 кг·м²/с²).

В зависимости от выбранной количественной единицы вещества различают мольную теплоемкость µc – кДж/(кмоль·К), массовую теплоемкость c – кДж/(кг·К) и объемную теплоемкость c’– кДж/(м³·К).

Удобнее всего иметь величину мольной теплоемкости. Тогда массовая теплоемкость

, (4.1)

а объемная теплоемкость

. (4.2)

Объемная и массовая теплоемкости связаны между собой зависимостью

где ρ_н - плотность газа при нормальных условиях.

Теплоемкость газа зависит от его температуры. По этому признаку различают среднюю и истинную теплоемкость.

, (4.3)

С_m – представляет собой среднюю теплоемкость в пределах (t₂-t₁). Предел этого отношения, когда разность температур стремится к нулю, называется истинной теплоемкостью

Таким образом, различают истинную и среднюю теплоемкости:

а) мольную – в процессах при постоянном объеме ( и ) и постоянном давлении ( и );

б) массовую – в процессах при постоянном объеме ( и ) и постоянном давлении ( и );

в) объемную – в процессах при постоянном объеме ( и ) и постоянном давлении ( и );

Между мольными теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме существует следующая зависимость:

(4.4)

Для приближенных расчетов при невысоких температурах можно принимать следующие значения мольных теплоемкостей (табл. 4.1).

Таблица 4.1.

Приближенные значения мольных теплоемкостей

Газы	Теплоемкость в кДж/(кмоль·К)
	v	p
Одноатомные	12,56	20,93
Двухатомные	20,93	29,31
Трех- и многоатомные	29,31	37,68

В технической термодинамике большое значение имеет отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме, обозначаемое буквой k:

Для одноатомных газов k =1,67; для двухатомных газов k =1,4; для трех- и многоатомных газов k =1,29.

Количество теплоты, которое необходимо затратить в процессе нагревания 1 кг газа в интервале температур от t₁ до t₂,

, (4.5)

где и - средние теплоемкости в пределах 0°- и 0°- .

Для определения количества теплоты, затрачиваемой в процессах при постоянном давлении и постоянном объеме использовать формулы (4.6), (4.7)

(4.6)

(4.7)

Если в процессе участвуют кг и м³ газа, то:

(4.8) ; (4.9)

Нелинейную зависимость истинной теплоемкости от температуры представляют обычно уравнением вида:

,

где а, b и d – величины постоянные для данного газа.

При замене нелинейной зависимости линейной, истинная теплоемкость примет вид:

,

а средняя теплоемкость в пределах 0° -

(4.10)

В табл. 4.2 приведены интерполяционные формулы для истинных и средних мольных теплоемкостей при постоянном давлении, а в табл. 4.3 - для средних массовых объемных теплоемкостей при постоянном объеме.

Теплоемкость газовой смеси:

массовая: (4.11)

объемная: (4.12)

мольная: (4.13)

Таблица 4.2.

Интерполяционные формулы для истинных и средних мольных теплоемкостей газов

Газ	Мольная теплоемкость при в кДж/(кмоль·К)
	Истинная	средняя
В пределах 0 - 1000°С
О2	=29,5802 + 0,0069706 t	=29,2080 + 0,0040717 t
N2	=28,5372 + 0,0053905 t	=28,7340 + 0,0023488 t
СО	=28,7395 + 0,0058862 t	=28,8563 + 0,0026808 t
Воздух	=28,7558 + 0,0057208 t	=28,8270 + 0,0027080 t
Н2О	=32,8367 + 0,0116611 t	=33,1494 + 0,0052749 t
SО2	=42,8728 + 0,0132043 t	=40,4386 + 0,0099562 t
В пределах 0 - 1500°С
H2	=28,3446 + 0,0031518 t	=28,7210 + 0,0012008 t
CO2	=41,3597 + 0,0144985 t	=38,3955 + 0,0105838 t
В пределах 1000 - 2700°С
O2	=33,8603 + 0,0021951 t	=31,5731 + 0,0017572 t
N2	=32,7466 + 0,0016517 t	=29,7815 + 0,0016835 t
CO	=33,6991 + 0,0013406 t	=30,4242 + 0,0015579 t
Воздух	=32,9564 + 0,0017806 t	=30,1533 + 0,0016973 t
H2О	=40,2393 + 0,0059854 t	=34,5118 + 0,0045979 t
В пределах 1500 - 3000°С
H2	=31,0079 + 0,0020243 t	=31,5731 + 0,0017572 t
СО2	=56,8768 + 0,0021738 t	=48,4534 + 0,0030032 t

Таблица 4.3.

Интерполяционные формулы

для средних массовых и объемных теплоемкостей газов

Газ	Теплоемкость в кДж/(кг·К)
	Массовая	объемная
В пределах 0 - 1000°С
О2	= 0,9127 + 0,00012724 t	= 1,3046 + 0,00018183 t
	= 0,6527 + 0,00012724 t	= 0,9337 + 0,00018183 t
N2	= 1,0258 + 0,00008382 t	= 1,2833 + 0,00010492 t
	= 0,7289 + 0,00008382 t	= 0,9123 + 0,00010492 t
СО	= 1,0304 + 0,00009575 t	= 1,2883 + 0,00011966 t
	= 0,7335 + 0,00009575 t	= 0,9173 + 0,00011966 t
Воздух	= 0,9952 + 0,00009349 t	= 1,2870 + 0,00012191 t
	= 0,7084 + 0,00009349 t	= 0,9161 + 0,00012191 t
Н2О	= 1,8401 + 0,00029278 t	= 1,4800 + 0,00023551 t
	= 1,3783 + 0,00029278 t	= 1,1091 + 0,00023551 t
SО2	= 0,6314 + 0,00015541 t	= 1,8472 + 0,00004547 t
	= 0,5016 + 0,00015541 t	= 1,4763 + 0,00004547 t
В пределах 0 - 1500°С
H2	= 1,42494 + 0,00059574 t	= 1,2803 + 0,00005355 t
	= 1,01241 + 0,00059574 t	= 0,9094 + 0,00005355 t
CO2	= 0,8725 + 0,00024053 t	= 1,7250 + 0,00004756 t
	= 0,6837 + 0,00024053 t	= 1,3540 + 0,00004756 t

Задачи

4.1. Найти объемную теплоемкость кислорода при постоянном объеме и постоянном давлении, считая с=const.

Решение:

По табл. 4.1 для двухатомных газов: _Cv=20.93 кДж/(кмоль К);

_Cp=29.31 кДж/(кмоль К);

Cледовательно, для кислорода (и любого двухатомного газа)

Сv=_Cv/22.4=20.93/22.4=0.934 кДж/( м³ К);

Cp=_Cp/22.4=29.31/22.4=1.308 кДж/(м³ К).

Ответ: Ср=1.308 кДж/( м³ К); Сv=0.934 кДж/( м³ К).

4.2. Определить значение массовой теплоемкости кислорода при постоянном объеме и постоянном давлении, считая с=const.

Ответ: Ср=0.916 кДж/(кг К); Сv=0.654 кДж/(кг К).

4.3. Вычислить среднюю массовую и среднюю объемную теплоемкость окиси углерода при постоянном объеме для интервала температур 0-1200 ⁰С, если известно, что для окиси углерода (_Сpm)₀¹²⁰⁰=32.192 кДж/(кмоль К).

Решение:

На основании формул (4.1),(4.2) и (4.3) имеем

(С_v)₀¹²⁰⁰=32.192-8.314=23.877 кДж/(кмоль К);

(С_vm)₀¹²⁰⁰=(C_v)₀¹²⁰⁰/28=23.877/28=0.8528 кДж/(кг К);

(C_vm)₀¹²⁰⁰=(C_v)₀¹²⁰⁰/22.4=23.877/22.4=1.0659 кДж/(м³ К).

Ответ: (С_v)₀¹²⁰⁰=23.877 кДж/(кмоль К); (С_vm)₀¹²⁰⁰ =0.8528 кДж/(кг К);

(C_vm)₀¹²⁰⁰ =1.0659 кДж/(м³ К).

4.4. Вычислить среднюю теплоемкость С_pm для воздуха при постоянном давлении в пределах 200-800 ⁰С, считая зависимость теплоемкости от температуры нелинейной.

Ответ: (С_pm)₂₀₀⁸⁰⁰=1.091 кДж/(кг К).

4.5. Вычислить среднюю теплоемкость С_pm и С_vm в пределах 200-800 ⁰С для СО, считая зависимость теплоемкости от температуры линейной.

Ответ: С_pm=1.1262 кДж/(кг К); С_vm=1.0371 кДж/(м³ К).

4.6. Найти среднюю теплоемкость С_pm и C_vm для воздуха в пределах 400-1200 ⁰С, считая зависимость теплоемкости от температуры нелинейной.

Ответ: С_pm =1.4846 кДж/(м³ К);C_vm =1.1137кДж/(м³ К).

4.7. В закрытом сосуде объемом V=300 л находится воздух при давлении р₁=0.8 МПа и температуре t₁=20 ⁰С. Какое количество теплоты необходимо подвести для того, чтобы температура воздуха поднялась до t₂=120 ⁰С? Задачу решить, принимая теплоемкость воздуха постоянной, а также учитывая зависимость теплоемкости от температуры. Определить относительную ошибку, получаемую в первом случае.

Ответ: Q=77.3 кДж. Относительная ошибка 0.25 %.

4.8. Воздух охлаждается от 1000 ⁰С до 100 ⁰С в процессе с постоянным давлением. Какое количество теплоты теряет 1 кг воздуха? Задачу решить, принимая теплоемкость воздуха постоянной, а также учитывая зависимость теплоемкости от температуры. Определить относительную ошибку, получаемую в первом случае.

Ответ: 1). q_cp=const =-911.9 кДж/кг;

2). q_cp=f(t)=-990.1 кДж/кг; 8%.

4.9. В сосуде объемом 300 л находится кислород при давлении р₁=0.2 МПа и температуре t₁=20 ⁰С. Какое количество теплоты необходимо подвести, чтобы температура кислорода повысилась до t₂=300 ⁰С? Какое давление установится при этом в сосуде? Зависимость теплоемкости от температуры принять нелинейной.

Ответ: Q_v= 152.8 кДж; Р₂=0.39 МПа

4.10. Газовая смесь имеет следующий состав по объему: СО₂=0.12; O₂=0.07; N₂=0.75; H₂O=0.06.Определить среднюю массовую теплоемкость С_pm, если смесь нагревается от 100 ⁰С до 300 ⁰С.

Ответ: С_pm=1.0928 кДж/(кг К)