Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

§1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. Основные понятия

Определение 1. Уравнение, связывающее неизвестную функцию , ее аргумент и производную или их дифференциалы dx и dy, называется дифференциальным уравнением первого порядка, т.е.

(1)

Если из этого уравнения можно выразить y´(x), то уравнение примет вид:

при этом его называют уравнением, разрешенным относительно производной.

Определение 2. Решением дифференциального уравнения (1) называется любая дифференцируемая функция , которая при ее подстановке в уравнение (1) обращает его в верное равенство. При этом, если она задана явно, то используют термин решение, а если неявно, то говорят интеграл. График решения называется интегральной кривой. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Определение 3. Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется множество всех без исключения решений этого уравнения. Множество таких решений образуется с помощью произвольной постоянной с:

– в явном виде – общее решение

и – в неявном виде – общий интеграл уравнения.

Определение 4. Частным решением, или частным интегралом дифференциального уравнения (1) называется функция или , полученная из общего решения или общего интеграла при определенном значении произвольной постоянной .

Определение 5. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего дополнительному начальному условию:

,

где и – заданные числа, называется задачей Коши.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 6. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

(2)

или уравнение вида:

(3)

Чтобы уравнения (2) и (3) можно было проинтегрировать, необходимо привести их к уравнениям с разделёнными переменными, т.е. при дифференциалах dx и dy должны быть множители, зависящие соответственно от x и от y.

Решим уравнение (2) в общем виде:

Пусть , а , тогда выражение

или , где является интегралом уравнения (2). Остается проверить, что не потеряны решения при делении уравнения на выражения, зависящие от переменных. Решим уравнение . Если оно имеет решение, являющееся и решением уравнения (2), то оно тоже будет присоединено к общему интегралу этого уравнения.

Решим уравнение (3) в общем виде:

уравнение с разделенными переменными

общий интеграл уравнения (3)

К полученному интегралу могут быть добавлены решения уравнений: и , если они являются для заданного уравнения решениями.

Некоторые дифференциальные уравнения можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнения вида:

или ,

где и – некоторые числа, приводят к виду (2) или (3) с помощью замены:

3. Примеры с решениями

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными вида (2), так как его можно переписать в виде:

Приведем его к уравнению с разделенными переменными:

Теперь его можно интегрировать:

, обозначим

Получим общее решение уравнения.

Проверим, не потеряно ли решение ?

Подставим в заданное уравнение , а тогда и . Получим .

Значит, решение данного уравнения, но оно принадлежит полученному общему решению при .

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Соберём слагаемые, содержащие и :

Это уравнение вида (3), так как:

Разделим переменные:

Интегрируя, получаем:

, где

это общий интеграл уравнения.

Так как уравнения и не имеют действительных решений, то при интегрировании уравнения не могли быть потеряны решения.

Ответ: .

Пример 3. Решить задачу Коши:

Решение. Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными вида (3), так как:

Разделим переменные, поделив уравнение на

Интегрируя, получим:

.

Обозначим :

общий интеграл уравнения.

Используя начальное условие: , получим частное решение

.

Значит, частное решение данного уравнения при заданном начальном условии имеет вид:

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение:

.

Решение. Выполним замену: .

Тогда уравнение изменится:

.

Получилось уравнение с разделяющимися переменными вида (2), так как

. Разделим переменные:

.

Интегрируя, получим:

.

Обозначим , тогда .

Так как , то общим интегралом будет: .

Решим уравнение . Тогда z =0.

Подставим в заданное уравнение и получим тождество: 0+1=1. Значит, или – решение для данного уравнения, но не входит в общий интеграл.

Ответ: .