3. Примеры
Решить уравнения или задачи Коши
1. 
2.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
4. Ответы
1. 
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
§3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
1. Определения и методы решения
Определение 1. Уравнение вида:
(1)
где
и
– заданные непрерывные функции на
называется линейным
дифференциальным
уравнением (ЛДУ). Если
при
то
уравнение имеет вид:
и называется
линейным
однородным дифференциальным уравнением
(ЛОДУ). А
если
при
то уравнение (1) называется линейным
неоднородным дифференциальным
уравнением (ЛНДУ).
Метод решения лнду
1) Метод вариации произвольной постоянной:
сначала решить соответствующее ЛОДУ, которое является уравнением с разделяющимися переменными:
(2)
заменить в формуле (2) постоянную
на неизвестную функцию
и подставить это выражение вместо
в
уравнение (1), предварительно найдя
из полученного уравнения найти функцию
записать ответ:
где
произвольная
постоянная.
2) Метод Бернулли:
выполнить в уравнении (1) замену Бернулли:
(3)
приравнять к нулю выражение
и найти отсюда
любое частное
решение
подставить полученную функцию
в
уравнение (3) и найти общее решение
из
этого уравнения;записать ответ:
где
произвольная
постоянная.
Уравнение Бернулли
Определение 2. Уравнение вида
где
и
(4)
называется
уравнением
Бернулли с показателем
.
Уравнение (4) приводится к ЛНДУ(1) с помощью замены:
После этой замены уравнение (1) приводится к следующему:
Это уравнение
ЛНДУ относительно функции
Его можно решать также с помощью замены
Бернулли. Но можно и уравнение (4), не
проводя замену к функции
,
решать методом замены Бернулли
непосредственно. При этом функция
будет
частным решением уравнения
а функция будет находиться из уравнения
.
Замечание 1.
При таком
решении при
решение
будет всегда потеряно.
Замечание 2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка становятся линейными или уравнениями Бернулли, если в них поменять ролями искомую функцию и независимую переменную .