4. Поверхностные интегралы
4.1.
Поверхностный интеграл первого рода.
Если
поверхность ∑ задана на области D
плоскости
Oxy
функцией z=z(x,y),
причем z=(x,y)
непрерывная вместе со своими частными
производными первого порядка
и
,
то поверхностный интеграл сводится к
двойному с помощью формулы:
Аналогичные формулы можно записать и тогда, когда поверхность задана функциями x=x(y,z), или y=y(x,z). В этих случаях следует записать формулу, переставив соответствующим образом переменные x,y,z.
Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода:
где
∑-
часть плоскости
,
заключенная в первом октанте.
Решение.
Поверхность
∑
можно
выразить явно
где
область D
–треугольник, ограниченный прямыми
При
этом
Данный интеграл сводится к двойному
(при этом знаменатель подынтегральной
функции равен
:
Пример 2. Вычислить интеграл:
если
- полная поверхность конуса
Решение. Пусть 1 – боковая поверхность конуса, ∑2 - его основание, тогда
На боковой поверхности конуса имеем:
Следовательно,
На
основании конуса
поэтому второй интеграл равен площади
основания конуса, проекция которой на
плоскость
есть круг
площадь
которого равна 16. Итак, I=8π(2+
Задачи и упражнения
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого рода:
4.1.
,
где ∑
- часть плоскости
лежащая в первом октанте.
4.2.
,
где ∑
-часть плоскости
лежащая в первом октанте.
4.3.
где ∑ - часть поверхности параболоида
расположенная между плоскостями
4.4.
где:
1)
∑ - часть плоскости
лежащая в первом октанте;
2)
∑ - часть сферы
выделяемая условием
4.5.
где
1)
∑ - сфера
2)
- поверхность конуса
4.6.
;
-
поверхность тетраэдра
4.7.
часть
параболоида
,
выделяемая условием
4.8.
часть конической поверхности
,
расположенная внутри цилиндра
4.2.
Поверхностный интеграл второго рода.
Пусть
векторное
поле, заданное на гладкой ориентированной
поверхности ∑
, причем функции P(x,y,z),
Q(x,y,z),
R(x,y,z)
непрерывные вместе с частными производными
1-го порядка на этой поверхности.
Если
– углы, образованные соответственно с
положительными направлениями осей
,
и
,
единичной нормалью
к
выбранной стороне
поверхности, то поверхностный интеграл
второго рода выражается через поверхностный
первого рода следующим равенством
.
При
переходе на другую сторону
поверхности
этот интеграл меняет свой знак.
Пусть
а
поверхность ∑
задана уравнением
– проекция поверхности ∑ на плоскость
Oxy,
причем функция
непрерывно дифференцируемая на
,
тогда
.
Перед
двойным интегралом берется знак «плюс»,
если ∑
ориентирована нормалью, составляющей
с осью
острый угол, и знак «минус», если
поверхность ориентирована нормалью,
образующей с осью
тупой угол. В первом случае говорят,
что интеграл берется по верхней
стороне
поверхности,
во втором - по её нижней
стороне.
Аналогичные
формулы получаются, если поверхность
∑ задается
уравнением
Если поверхность ∑ не представима перечисленными выше уравнениями, но её можно разбить на конечное число частей, представимых в таком виде, то поверхностный интеграл представляют как сумму интегралов по этим частям.
Если
поверхность ∑ неявно
уравнением
,
то нормалью к ней является градиент,
т.е.
Пример
3. Вычислить
интеграл
∑ - нижняя
сторона конической поверхности
Решение.
Поверхность ∑
описывается уравнением
и ориентирована нормалью, составляющей
тупой угол с осью z.
Поэтому,
переходя к двойному интеграл, возьмем
знак «минус» и вычислим этот интеграл
в полярной системе координат:
Пример
4. Вычислить
интеграл
где
∑ - полусфера
ориентированная
внешней нормалью.
Решение.
Разобьем
поверхность ∑
на части ∑1
и ∑2 ,расположенные
соответственно выше и ниже плоскости
Поверхности
∑1 и ∑2
имеют
одну и ту же проекцию D
на плоскость
Тогда, согласно формулы, получаем
т.к. внешняя нормаль к поверхности ∑1 образует с осью z острый угол и
т.к. внешняя нормаль к поверхности ∑2 образует с осью z тупой угол. Следовательно,
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода:
Пример
5.
Вычислить
по боковой поверхности призмы
,
,
и
.
Нормаль внешняя.
Решение. Представим интеграл как сумму двух интегралов:
.
Построим область, заданную условием задачи (рис.4.1.). На боковой поверхности призмы нормаль к поверхности всюду перпендикулярна оси z, тогда
,
;
и
.
На
плоскости АА1В1В
и
уравнение АА1В1В
есть
;
На
плоскости ОО1В1В
и
уравнение ОО1В1В
есть
.
Задачи и упражнения
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода:
4.9.
где
∑ - нижняя
сторона круга
4.10.
где
∑ - верхняя поверхность плоскости
лежащая в первом квадранте.
4.11.
где
∑ - внешняя
сторона полусферы
4.12.
где ∑ - внешняя
сторона поверхности тетраэдра,
ограниченного плоскостями
4.13.
где
∑ - внутренняя
сторона полусферы
4.14.
,
где ∑ - внешняя
сторона боковой поверхности конуса
