5. Элементы векторного анализа

5.1. Работа и циркуляция векторного поля. Пусть – векторное поле, заданное в некоторой области , и функции , , – непрерывно дифференцируемы в области . Пусть – гладкая кривая, расположенная в области . Криволинейный интеграл второго рода вдоль кривой называется работой векторного поля и обозначается

.

В случае, если – замкнутая кривая, то работа по замкнутой кривой называется циркуляцией векторного поля вдоль кривой . Таким образом, циркуляция поля равна:

.

В случае, когда векторное поле – плоское, его циркуляция вдоль замкнутой кривой определяется интегралом:

.

Пример 1. Вычислить , где - дуга параболы от точки A(-1; 1) до точки В(1; 1).

Решение. ; ; ; .

Пример 2. Вычислить , где ‑ отрезок прямой АВ, от точки A(1; 1; 1) до точки В(2; 3; 4).

Решение. Уравнение АВ:

; ;

,

, ;

Пример 3. Найти работу плоского векторного поля вдоль кривой, где – арка циклоиды , , .

Решение. Вычислим работу поля по формуле

.

Находим и . Тогда

=

Задачи и упражнения

5.1. Найдите работу силового поля , когда точка массы описывает окружность , , двигаясь по ходу часовой стрелки.

5.2. Поле образовано силой . Вычислите работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата со сторонами , .

Найдите работу силы _𝚽 при перемещении вдоль линии от точки к точке .

5.3. , где – отрезок , , .

5.4. , .

5.5. , .

5.6. , .

Найдите циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура (в направлении, соответствующем возрастанию параметра ).

5.7. , .

5.8. , .

5.9. , .

5.2. Поток векторного поля. Потоком П векторного поля через поверхность называется поверхностный интеграл второго рода

.

Если поверхность ∑ задана в неявном виде уравнением , то её можно рассматривать как поверхность уровня в скалярном поле , нормаль которого направлена по градиенту в сторону возрастания С.

Так как , тогда .

Последнее выражение представляет собой поверхностный интеграл первого рода. Знак выбирается в зависимости ориентации поверхности.

Пример 4. Найти поток векторного поля через внешнюю поверхность параболоида , отсечённого плоскостью (рис.5.1).

Решение. Рассмотрим скалярное поле , . Направление градиента F совпадает с направлением – нормали

.

.

Тогда получим:

.

Задачи и упражнения

5.10. Вычислите поток векторного поля через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусом из плоскости , .

5.11. Вычислите поток векторного поля через треугольник ABC с вершинами в точках , , (нормаль образует с осью Ох острый угол).

5.12. Вычислите поток векторного поля через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченную плоскостями , , .

5.13. Вычислите поток векторного поля через полную поверхность конуса , ограниченную плоскостью , .

5.3. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля называется скалярное поле, которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле

.

Пусть область пространственно односвязная и координаты , , векторного непрерывные и дифференцируемые в . Тогда векторное поле называется соленоидальным, если

в каждой точке области . Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Ротором векторного поля 𝚽 называется векторное поле, которое в декартовой системе координат находится по формуле

.

Для запоминания удобна формальная запись в виде символического определителя 3-го порядка:

,

где «умножение» символов дифференцирования на одну из функций понимается как взятие соответствующей частной производной этой функции.

Векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля , т.е. . В случае, если поле потенциально, то выполняются равенства

, , ,

что равносильно тому, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Эта функция называется потенциалом векторного поля .

Векторное поле потенциально тогда и только тогда, когда , т.е. поле является безвихревым. Условие является также необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл

не зависит от формы кривой, соединяющей точки и в области (в предположении, естественно, что – поверхностно односвязная), а также того, что циркуляция поля по любому замкнутому контуру равна нулю, т.е.

.

Если поле потенциально, то его потенциал может быть найден путем решения системы уравнений с частными производными:

, , .

Также можно найти потенциал непосредственным интегрированием по некоторому пути :

.

При этом, в силу независимости этого интеграла от формы пути, путь выбирают в виде ломаной , вдоль каждого из звеньев которой изменяется лишь одна координата, а остальные остаются постоянными. В этом случае два из трех дифференциалов в криволинейном интеграле обращаются в ноль, и потенциал вычисляется в виде суммы:

,

где каждый из интегралов – суть обычный определенный интеграл по соответствующей переменной, а остальные переменные (индексированные и неиндексированные) играют роль констант.

Если потенциал векторного поля известен, то

.

Векторное поле будет соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля , т.е. . Поле называется векторным потенциалом поля . Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Дифференциальные операции удобно записывать с помощью оператора Гамильтона или оператор (набла), который определяется формулой

.

Применение этого оператора к скалярным и векторным полям с формальной точкой зрения соответствует операции «умножения» на вектор с координатами , , :

,

+

.

Нетрудно заметить, что стоящие в правых частях последних трех равенств выражения суть градиент, дивергенция и ротор полей:

, , .

Пример 5. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля

Решение. По определению, В нашем случае Отсюда находим Следовательно,