2.2. Розв'язування ірраціональних рівнянь

Інколи трапляється, що система двох рівнянь з двома невідомими, яка складається з несиметричних рівнянь, може бути зведена до симетричної системи введенням нових (допоміжних) змінних. Наприклад, це використовується у розв’язуванні ірраціональних рівнянь.

Розглянемо приклад.

Покладемо, що й . Тоді початкове рівняння набуде вигляду . Крім того, маємо:

Таким чином, ми отримали систему рівнянь:

Введення нових невідомих зводить її до системи:

з якої отримуємо для квадратне рівняння

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо:

або

Таким чином, задача звелась до розв’язання двох систем рівнянь

Так як , то для початкової невідомої отримуємо два розв’язки: Друга система дає для та , а значить й для , ще два розв’язки (вони комплексні, а для ірраціональних рівнянь беруться лише дійсні значення невідомих).

2.3. Зворотні рівняння

Симетричні многочлени можна успішно використовувати й для розв’язування деяких рівнянь вищої степені. В цьому пункті ми розглянемо так звані зворотні рівняння.

Будемо називати многочлен

, (#)

зворотним, якщо в ньому рівновіддалені коефіцієнти співпадають, тобто

Наприклад, зворотними є многочлени:

Рівняння , ліва частина якого представляє собою зворотний многочлен, називається зворотним.

В основі розв’язування зворотних рівнянь лежить наступна теорема.

Теорема. Будь-який зворотний многочлен

парної степені можна представити у вигляді

де та – деякий многочлен степені від .

Будь-який зворотний многочлен непарної степені ділиться без остачі на , причому частка є зворотним многочленом парної степені.

Доведення. Розглянемо спочатку многочлен парної степені . Виносячи в ньому за дужки , отримаємо:

,

або, приймаючи до уваги рівність .

Нам залишилося довести, що двочлени можна виразити через . Але ця задача зводиться до розглянутої вище задачі про вираження степеневої суми через елементарні симетричні многочлени та . І справді, якщо ми покладемо, що то степенева сума перетвориться у вираз елементарний симетричний многочлен в , а набуде значення 1. Практично для цього слід скористатися наступними формулами - таблицею обернених симетричних многочленів ( ):

Отож, перше твердження теореми доведено.

Розглянемо тепер випадок зворотного многочлена непарної степені :

.

Так як цей многочлен є зворотним, тобто виконується рівність то його можна записати наступним чином:

У кожного двочлена, що стоїть в дужках, можна виділити множник , використовуючи добре відому рівність

,

ми отримаємо:

Складаючи отримані вираження почлено і виносячи в правій частині множник за дужки, ми отримаємо:

,

де – многочлен, що є сумою наступних многочленів:

Безпосередньо видно, що у всіх цих многочленах коефіцієнти, рівновіддалені від кінців, співпадають, і тому їх сума є зворотним многочленом (парної степені ). Тим самим доведено й друге твердження теореми, яке стосується зворотних многочленів непарної степені.

Наведемо приклад застосування доведеної теореми для розв’язання зворотних рівнянь.

Розв’язати рівняння

Дане рівняння є зворотним й має степінь 4. Ліва частина цього рівняння перетворюється наступним чином:

Так як не є коренем даного рівняння, то ми прийдемо до квадратного рівняння відносно σ:

.

Розв’язуючи його, знаходимо корені: та . Таким чином, для знаходження коренів шуканого рівняння ми отримали два рівняння:

Розв’язуючи їх, знаходимо чотири корені: