2.5. Задачі про квадратні рівняння

Ціла серія задач, в яких потрібно обчислити деякі вирази, що містять корені заданого квадратного рівняння, також з успіхом розв’язуються за допомогою симетричних многочленів. Розглянемо приклад.

Дано квадратне рівняння . Скласти нове квадратне рівняння, коренями якого є квадрати коренів даного рівняння.

Для розв’язання цієї задачі позначимо корені даного рівняння через та , корені шуканого рівняння – через та , а коефіцієнти шуканого рівняння – через та . За теоремою Вієта та й, так само,

Але, за умовою задачі, маємо і тому

Таким чином, шукане квадратне рівняння має вигляд:

Тим же прийомом можна розв’язувати і більш складні задачі.

2.6. Нерівності

Симетричні многочлени можна також застосовувати для доведення багатьох нерівностей. Основним інструментом тут слугують формули вираження степеневих сум й наступна теорема.

Теорема. Нехай та – дійсні числа. Для того, щоб обидва числа та , визначені із системи рівнянь були дійсними, необхідно й достатньо, щоб та задовольняли нерівність .

Рівність досягається лише в випадку, коли . Для того, щоб обидва числа та були дійсними й невід’ємними, необхідно й достатньо, щоб числа та задовольняли нерівності , , .

Доведення. Числа та є коренями квадратного рівняння , тобто співпадають з числами .

Тому для дійсності чисел та необхідно і достатньо, щоб підкореневий вираз був невід’ємним, тобто щоб виконувалася нерівність . Рівність означає, що обидва корені квадратного рівняння співпадають, тобто

Якщо числа та невід'ємні, то крім нерівності , виконується ще й нерівність , . Нехай тепер, навпаки, виконані нерівності , , . Як було показано вище, з першої нерівності витікає, що числа та дійсні: так як , то обидва вони мають однаковий знак; нарешті, із відношення витікає, що вони невід'ємні. Теорему доведено.

Вказана теорема застосовується для доведення нерівностей наступним чином. Припустимо, що дано деякий симетричний многочлен і потрібно довести, що при будь-яких дійсних значеннях та цей многочлен приймає невід'ємні значення: . Для доведення потрібно перш за все замінити симетричний многочлен його вираженням через та . Потім в одержаному многочлені замінити його вираженням через і додатню величину , тобто підставляють . В результаті ми одержимо многочлен від та і потрібно довести, що при додатних й при вказаних в умові обмеженнях на цей многочлен набуває лише додатніх значень. Як правило, це краще й легше зробити, ніж доводити початкову нерівність. Інколи буває корисно замінити його вираженням через та .

Розглянемо приклад: довести, що якщо та – дійсні числа, які задовольняють нерівність , то справедливі нерівності:

Для доведення вводимо елементарні симетричні многочлени . Ми маємо:

Так як , а за умовою задачі , то , тобто

Застосовуючи до отриманої нерівності ті ж самі роздуми, знаходимо:

Аналогічно знаходимо, що :

Розділ III. Завдання для самостійного розв'язування

1. Чи є симетричними такі многочлени?

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

2. Доповнити даний многочлен найменшим числом многочленів, щоб він став симетричним.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

3. Виразити через елементарні симетричні многочлени такі многочлени.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

4. Розв’язати систему рівнянь.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

5. Розв’язати систему рівнянь, ввівши нові допоміжні невідомі.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

6. Розв’язати рівняння.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

7. Розв’язати зворотне рівняння.

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

8. Розкласти на множники многочлени

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

8.5.

9. Розв’язати задачу про квадратне рівняння.

1. Скласти квадратне рівняння, коренями якого є куби коренів квадратного рівняння .

2. Скласти квадратне рівняння, коренями якого є десяті степені коренів квадратного рівняння .

3. Нехай – корені квадратного рівняння . Обчислити значення виразу при

4. При якому дійсному a сума квадратів коренів рівняння приймає найменше значення?

5. Нехай – квадратне рівняння, корені та якого додатні. Виразіть + через коефіцієнти рівняння.

10. Довести, що при будь-яких дійсних та справедливі наступні нерівності.

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5.