2.1. Поетапне розв'язування задач та пошук способу побудови

У 8-9 класах під час розв'язування задач на по­будову корисно виділяти етапи розв'язування. З цією метою уточнюємо і поглиблюємо знання учнів про пошук способу побудови і доведення правильності виконаної побудови. Ви­вчивши тему «Перетин прямої з колом», вводимо новий для учнів етап розв'язування — дослідження і закріплюємо його на кількох задачах. Важливо, щоб учні ознайомились з усіма етапами. Для цього час від часу доцільно пропону­вати їм виконувати повне розв'язування задач і стисло за­писувати його в зошитах.

Дотримання етапів розв'язування задач на побудову ро­бить міркування учнів більш цілеспрямованими і логічно по­слідовними, привчає до повноти розв'язування будь-яких математичних задач. Проте не слід прагнути проводити їх у кожній задачі на побудову. В одній задачі заслуговує на увагу аналіз, у другій — цікава сама побудова, у третій — повчальним є доведення або дослідження.

При знаходженні способу побудови слід користуватися різними формами міркувань.

Аналітична форма міркувань. Позначимо задачу (де X — вимога задачі, А — дані її умови).

Перший етап аналізу полягає в тому, що припускаємо шукану фігуру побудованою (X — відомим) і всі умови зада­чі здійсненими. Це дає можливість зіставленням даних і шу­каних елементів встановити зв'язки між ними. Якщо таке зіставлення безпосередньо не дає ключа для побудови фі­гури, то переформульовуємо задачу в допоміжну задачу , (де — переформульовані дані умови, — переформульована вимога), розв'язування якої повинно бути прості­шим і забезпечити розв'язування основної задачі. Якщо при цьому виявиться відомим спосіб побудови, то аналіз закін­чуємо. Якщо ж спосіб побудови в допоміжній задачі залишається невідомим, то замінюємо її другою допоміжною за­дачею , розв'язування якої має забезпечити розв'язування задачі , а отже, і задачі . Так робимо доти, поки не при­ходимо до якоїсь задачі , побудова якої відома і забезпе­чує побудову в задачі .

Синтетична форма міркувань. При синтетичній формі мір­кувань, застосовуючи всю або частину умови задачі, скла­даємо і розв'язуємо першу допоміжну задачу . Потім, ви­користовуючи результати розв'язування цієї задачі, складає­мо і розв'язуємо другу допоміжну задачу і т. д., поки не буде розв'язано основну задачу .

Спосіб розв'язування задачі на побудову можна відшу­кувати, використовуючи як аналітичну, так і синтетичну фор­му міркувань. Проте, якщо задача складна, то при синтетичній формі міркувань немає критерію, з яких даних слід починати побудову, які допоміжні величини потрібно ви­значити, як вибрати наступні допоміжні задачі. Тому рекомен­дується при відшуканні способу розв'язування задачі надава­ти перевагу аналітичній формі міркувань, тобто аналітичному методу.

Пошук способу побудови почи­наємо з аналізу структури задачі, який включає насамперед осмислення даних і властивостей шуканої геометричної фі­гури. Важливим питанням при аналізі структури задачі є встановлення визначеності шуканої фігури — достатності або недостатності даних елементів для її побудови. Шкільні задачі, в основному, визначені. Звикнувши до цього, учні намагаються розв'язувати і такі задачі, в яких дані не ви­значають фігуру або при яких фігура не існує.

У процесі розв'язування задач на побудову можна ознайомити учнів з тим, як встановлювати достатність даних для розв'язування задачі. Основну увагу приділяємо питан­ням: а) скільки кутових і лінійних елементів визначають фі­гуру; б) якими є ці елементи.

У вправах з неповною вхідною інформацією немає деяких даних, внаслідок чого виконати однозначно побудову не­можливо, задача матиме безліч розв'язків. Побудову можна виконати, ввівши дані, яких не вистачає. А це можливо тоді, коли учень уміє виділяти елементи, достатні для існування за­даних в умові фігур.

Перед розв'язуванням задач даного виду учням ставлять запитання: Чому не можна однозначно виконати побудову? Яких даних не вистачає?

Зустрічаються задачі, які містять зайву інформацію. Роз­в'язуючи їх, учень повинен вміти із сукупності даних в умові величин виділити ті, які утворюють систему відношень, не­обхідних і достатніх для розв'язування задачі, а також виді­лити зайві дані і пояснити, чому вони зайві.

Проаналізувавши структуру задачі, починаємо пошуки способу побудови. Тут важливо добути з даних фігур максимально корисну інформацію, вибрати потрібний прийом побудови, знайти аналогічну задачу. Цьому сприяє уміння узагальнено сприймати умову задачі, внаслідок чого учень виділяє ті зв’язки і відношення між даними і шуканими фігурами, які мають основне смислове математичне навантаження.