1.1. Парадокс де Мере:

Історія парадокса:

Існує стара історія, уперше розказана Лейбніцем, про те, як відомий французький гравець XVІІ століття шевальє де Мере по дорозі у свій маєток у Пуату зустрів Блеза Паскаля, одного зі славнозвісних учених XVІІ століття. Де Мере поставив перед Паскалем два завдання, обидві пов'язані з азартними іграми. Першим завданням був розглянутий парадокс. Обидві завдання Паскаль обговорював в 1654 р. у своїй переписці з П’єром, де Ферма, іншим високообдарованим ученим, що жив у Тулузі. Обоє вчених прийшли до однакового результату, що досить обрадувало Паскаля. У своєму листі він відзначав: "Я бачу, що істина однакова й у Тулузі, і в Парижу". Ейштейн Оре, професор Єльского університету, затверджував, що парадокси, приписувані де Мере, насправді були широко відомі значно раніше, справа лише в тому, що Паскаль про їх не знав. Невірно також, що шевальє був жагучим гравцем. Парадокси його цікавили скоріше теоретично, чим практично, і тому його не задовольнило, що Паскаль "усього лише" вирішив задачу, підтвердив правильну відповідь, яку де Мере уже знав. Шевальє не зміг зрозуміти, яким чином вирішується парадокс.

Парадокс:

Яку мінімальну кількість разів треба кинути гральний кубик, щоб з ймовірністю, більшою від , принаймні раз отримати 1 очко?

Пояснення парадокса:

Випробування — n-разове кидання кубика. Подія A — «принаймні один раз у серії з n кидків випаде одне очко».

Оскільки «принаймні 1 раз» означає одне очко випало або 1 раз, або 2

рази, …, або всі n разів, то для спрощення обчислень доцільніше розглядати

протилежну до A подію — подію A — «одиниця не випала жодного разу». Загальна кількість можливих результатів випробування дорівнює , бо за кожного кидка в серії з n кидків кубик може випасти 6 однаково ймовірними способами.

Події A сприяє 5n з них. Тому . Легко перевірити, що при n = 3, P(A) ≈ 0,42, а при n = 4, P(A) ≈ 0,52. Значить, n_min = 4.

Сучаснику Паскаля і Ферма шевалье де Мере цей результат був відомий, спостерігаючи багато ігор у кості він прийшов до нього експериментально. Далі де Мере міркував так: оскільки ймовірність отримати 2 очки в сумі, кидаючи 2 гральних кубики, в шість разів менша ймовірності отримати 1 очко, кидаючи 1 кубик, то слід чекати, що пару кубиків досить кинути 4 * 6 = 24 рази для того, щоб ймовірність принаймні раз отримати 2 очка в сумі була більшою від .

Де Мере дуже здивувало, що експеримент суперечив його міркуванням.

Паскаль розв’язав цю задачу:

Загальна кількість рівноможливих результатів у грі з n-разовим киданням 2 кубиків дорівнює .

Події A — «в серії з n кидків принаймні один раз випало 2 очки в сумі», сприяє (36ⁿ — 35ⁿ) результатів (в 35ⁿ випадках 2 очка не випаде жодного разу).

При n = 24, P(A) ≈ 0,492.

А при n = 25, P(A) ≈ 0,506.

Правда, де Мере так і не зрозумів, чому критичні для ймовірності значення кидків у цих іграх не дають відношення 6.

1.2. Парадокси поділу ставки:

Історія парадоксу:

Цей парадокс було вперше опубліковано в Венеції в 1494 р. в книзі Фра Лука Паччолі “Сума знань з арифметики, геометрії, відношень і пропорційності”. В цій книзі вперше використовувалося слово “мільйон” і пояснювалася подвійна бухгалтерія. Цікаво відзначити, що в Мілані Фра Лука близько подружився з Леонардо да Вінчі, який згодом ілюструвув працю Фра Лука “Про божественні пропорції”. Багато що вказує на більш давнє арабське походження парадоксу розділу ставки. Якою старою не була б ця проблема, залишається фактом, що на її правильне розвязання пішло дуже багато часу. Невірний розвязок дав Нікколо Тарталья, хоча він був досить геніальним, щоб за одну ніч відкрити формулу коренів кубічного рівняння. Після декількох невдалих спроб Паскаль і Ферма в 1654 р. незалежно один від одного знайшли правильну відповідь.

Парадокс:

Два гравці грають в чесну гру (тобто у обох шанси виграти в одній партії однакові) і домовляються, що весь приз отримає той, хто першим виграє 6 партій. Насправді гра зупинилася тоді, коли перший гравець виграв 5 партій, а другий 3. Як справедливо розділити приз? Ніякого парадоксу тут, звичайно, немає, але невдалі спроби деяких видатних вчених знайти розвязок, а також неправильні суперечливі відповіді таку легенду створили. За однією відповіддю, приз треба розділити пропорційно виграним партіям, тобто у відношенні 5:3. Тарталья пропонував розділити його у відношенні 2:1. Можливо, він міркував так: оскільки перший гравець виграв на дві партії більше, що складає третю частину необхідних для виграшу 6 партій, то він повинен отримати третю частину, а решту треба роділити порівну.

Пояснення парадоксу:

І Паскаль, і Ферма розглядали цю проблему як задачу про ймовірність. Так що справедливим буде поділ, пропорційним шансам першого гравця виграти приз. Покажемо, що у випадку, коли першому гравцю залишилось виграти тільки одну партію, а другому гравцю для перемоги необхідно виграти три, справидливе відношення дорівнює 7 : 1. Слідуючи ідеям Ферма, продовжимо гру трьома фіктивними партіями, навіть якщо деякі з них будуть зайвими. Таке продовження дасть 2 * 2 * 2 = 8 рівноможливих результатів. Оскільки 7 з них сприятливі для першого гравця. Значить, справедливим є співвідношення 7 : 1.

Зауваження:

Загальний розвязок для випадку, коли першому гравцеві треба виграти m партій, а другому – n, теж було знайдено Паскалем і Ферма. Для першого гравця відповідь дається формулою .

В 1654 р. вся наукова (і не тільки) громадскість Парижу говорила про виникнення нової науки – теоріях ймовірностей. Через кілька місяців в Париж з Нідерландів приїхав молодий геній Хрістіан Гюйгенс, щоб обговорити з Паскалем і Ферма ймовірнісні проблеми, якими він теж цікавився. Сталося так, що він не зустрів жодного зних. Паскаль був зайнятий релігією і не приймав гостей, а Ферма жив далеченько від Парижа. Разом з тим з найцікавішими результатами Гюйгенс ознайомився, і незабаром після повернення в Нідерланди він почав писати книгу з теорії ймовірностей. Ця чудова робота, яка, зокрема, містить розвязок задачі про розділ ставок для трьох гравців, була опублікована в 1657 р. під назвою “Про розрахунки в азартних іграх” у вигляді частини (пятої книги) праці Схоутена “Математичні етюди”. В роботі Гюйгенса 16 сторінок, вона починається з передмови і містить розвязки 14 задач, повязаних з азартними іграми.