4. Теоретический материал и краткие методические указания к выполнению задания 1

Построение чертежа точки

Построение любого геометрического объекта чаще всего требует умения построить чертеж точки по ее координатам. Поэтому сначала рассмотрим этот вопрос. Координатой называется число, выражающее расстояние от точки до плоскости проекций. Так как количество плоскостей проекций равно 3, точка имеет три координаты. Координаты записываются

в скобках как три числа, разделенные запятой. На рис.1 показан чертеж точки А(x,y,z).

К

Рис.1

оордината x (абсцисса) определена любым из отрезков ОА_x или A_zA" или A_yA';

координата y (ордината) определена любым из отрезков OA_y или A_xA' или A_zA"';

координата z (аппликата) определена любым из отрезков OA_z или A_xA" или A_yA"'.

При выполнении чертежа точки выбирается тот отрезок равный координате, который более удобен для построения.

Построим в качестве примера три проекции точки А (20, 10, 15).

Порядок построения.

- Выбираем масштаб (на рис. 2 горизонтальный отрезок равен 10мм).

- На оси x от точки О откладываем координату x (20мм - отрезок OA_x).

- Через точку A_x проводим линию перпендикулярную оси x. Отложив на этой линии вниз от оси x координату y (10мм), получаем горизонтальную проекцию А'. Отложив вверх от А_x координату z (15мм), получаем фронтальную проекцию А"

- Из А" проводим линию перпендикулярную оси z. На этой линии откладываем вправо от оси z координату y. Получаем профильную проекцию А"'. Профильную проекцию А"' можно построить другим способом, если воспользоваться биссектрисой угла yOy.

На рис.2 построена точка общего положения, т.е. такая точка, у которой нет координат равных нулю. Это означает, что точка А не принадлежит ни одной из плоскостей проекций (не лежит в плоскости проекций). Если точка лежит в плоскости проекций, то одна из координат будет равна нулю. Такая точка

называется точкой частного положения. Построение чертежа точки частного положения почти ничем не отличается от описанного выше порядка. Если говорить о чертеже точки частного положения, то две ее проекции будут лежать на оси.

Рис.2

Важным моментом чтения чертежа точки является четкое представление того, где в пространстве находится точка, чертеж которой построен или имеется. На начальном этапе изучения курса имеет смысл смоделировать плоскости проекций и указать положение точки.

Построение основания пирамиды

Пирамида - многогранник, у которого одна грань, принимаемая за основание, есть многоугольник, а остальные грани, называемые боковыми, - треугольники.

Построение чертежа пирамиды в конечном итоге сводится к построению основания и вершины пирамиды.

Рис.3

По условию основание пирамиды расположено в горизонтальной плоскости проекций. Поэтому горизонтальная проекция основания равна его натуральной величине. Так как основание есть правильный многоугольник,

вписанный в окружность, то для построения основания достаточно знать длину стороны многоугольника.

На рис.3 показано построение правильных четырех-, пяти- и шестиугольников.

У четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность, вершины есть точки пересечения окружности с центровыми линиями (рис.3а).

У вписанного шестиугольника сторона равна радиусу окружности (рис.3б).

Для построения пятиугольника нужно предварительно определить длину стороны. Геометрический способ нахождения стороны вписанного в окружность пятиугольника показан на рис.3г. Этот способ включает в себя следующие этапы.

- Радиус ОА разделить пополам (ОО₁=О₁А).

Из точки О₁, как из центра, описать дугу окружности радиусом, равным О₁В, до пересечения с горизонтальной осью в точке М.

Отрезок ВМ равен стороне вписанного правильного пятиугольника.

Построение чертежа пирамиды лучше выполнять в следующем порядке:

• Построить три проекции точки, являющейся центром окружности.

• Построить изображения основания: сначала горизонтальную проекцию, затем фронтальную и профильную.

• Построить три проекции вершины пирамиды.

• Построить ребра и оформить их видимость.

Построение чертежа конуса выполняется аналогично:

• Построить три проекции точки, являющейся центром окружности.

• Построить изображения основания: сначала горизонтальную проекцию, затем фронтальную и профильную.

• Построить три проекции вершины конуса.

• Построить очерковые образующие.

Построение линии на поверхности

Построение линии на поверхности выполняется по следующему алгоритму:

• На заданной проекции линии необходимо отметить и обозначить точки, включив в их перечень так называемые опорные точки (экстремальные, смены видимости, принадлежащие характерным линиям) и промежуточные точки.

• Построить недостающие проекции отмеченных точек.

• Соединить построенные точки в требуемом порядке.

• Выявить и оформить видимые и невидимые участки построенной линии.

Как видно из этого алгоритма, ключевым моментом построения линии является построение точки, принадлежащей поверхности. Поэтому рассмотрим этот вопрос.

Нахождение недостающей проекции точки, принадлежащей некоторой поверхности, проводится также по жесткому алгоритму,

включающему в себя следующие пункты:

• Через заданную проекцию точки проводится простая линия (прямая или окружность), принадлежащая этой поверхности.

• Строятся проекции этой линии на имеющихся изображениях (при этом нужно обязательно учесть видимость заданной проекции точки).

• С помощью линий связи на построенных линиях находятся проекции искомых точек.

Рассмотрим в качестве примера построение точки, принадлежащей поверхности пирамиды.

Задана двумя проекциями трехгранная пирамида.

Задана также фронтальная проекция точки N,

которая является невидимой (признаком невидимости проекции точки является то, что обозначение точки взято в скобки).

Для построения горизонтальной проекции точки N выполним следующие действия:

• Определим грань, в которой лежит точка. Этой гранью является ASC (потому что проекция невидима).

• На фронтальной проекции проведем в этой грани вспомогательную прямую через вершину и заданную проекцию точки.

S”

.

(N”)

C”

A” B”

C’

1”

1’ N’ S’ B’

A’

Рис.4

• Отметим и обозначим пересечение этой прямой со стороной основания A”C”— это точка 1”.

• С помощью вертикальной линии связи найдем горизонтальную проекцию этой точки – 1’.

• Построим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой, для чего соединим точки 1’ и S’.

-На горизонтальной проекции вспомогательной прямой с помощью линии связи найдем горизонтальную проекцию N’ искомой точки.

Точка на боковой поверхности конуса может быть найдена аналогичным образом с помощью вспомогательной прямой (образующей) на поверхности конуса, проведенной из вершины конуса до точки окружности основания.