Визначення числа π[ред.]

Вчений обчислив відношення довжини кола до його діаметру (число π). Він розглядав правильні багатокутники вписані і описані навколо кола. Порівнюючи периметри багатокутників можна визначити верхню і нижню границі для ободу кола. Ця метода дозволяла визначити з довільною точністю число π, як відношення довжини кола до діаметра. Архімед зробив оцінку для числа π вибравши багатокутник з певною кількістю сторін. Для нього ця величина лежить в межах:

Значення є цікавим з точки зору ланцюгових дробів — число отримують розкладаючи число в ланцюговий дріб.

Диференціальне числення[ред.]

Спосіб мислення Архімеда при визначенні довжини кола і площі фігури був близький до методів диференціального й інтегрального числень, що з'явилися лише через 2000 років. При доведені більшості теорем математичного аналізу використовується границя числової послідовності. При визначені числа π Архімед шукав границю відношення периметру багатокутника до його діагоналі. Іншим прикладом подібного способу мислення, є сума нескінченної геометричної прогресії із знаменником 1/4.

Правда границю числової послідовності він шукав геометричним способом (уся грецька математика ґрунтувалась на геометричних побудовах). Це був перший в математиці приклад нескінченного ряду.

Визначення площі сегмента параболи[ред.]

Велич Архімеда у тому, що користуючись типовими для свого часу математичними методами розв'язував нетипові задачі. Греки при розв'язуванні математичних задач мислили трикутниками, колами, прямими і дугами. Архімед також мислив геометрично. І в межах цього підходу, фактично проінтегрував параболу у праці «Про квадратуру параболи»: Він довів, що відношення площ, для частин прямокутника, діагоналлю якого є квадратна парабола, становить один до двох.

Користуючись сучасними позначеннями, це означає:

Площа прямокутника у цьому випадку становить . Площі відповідних частин прямокутника

і відповідно

«Псамміт»[ред.]

Велику роль в розвитку математики зіграв його твір «Псамміт» — «Про число піщинок», в якому він показав, як за допомогою існуючої системи числення можна виражати як завгодно великі числа. Як привід для своїх міркувань він використовує задачу про підрахунок кількості піщинок у видимому Всесвіті. Тим самим було спростовано поширену на той час думку про наявність таємничих «найбільших чисел» й доведено нескінченність натурального ряду чисел.

Наукова спадщина[ред.]

Задумливий Архімед, Доменіко Фетті

Донині збереглись такі праці Архімеда:

• Квадратура параболи (τετραγωνισμὸς παραβολῆς) — визначається площа сегмента параболи.

• Про кулю і циліндр ( περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) — доводиться, що об'єм кулі дорівнює 23 від обсягу описаного навколо неї циліндра, а площа поверхні кулі дорівнює площі бічної поверхні цього циліндра.

• Про спіралі ( περὶ ἑλίκων) — виводяться властивості спіралі Архімеда.

• Про коноїди і сфероїди ( περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων) — визначаються обсяги сегментів параболоїда, гіперболоїда і еліпсоїдів обертання.

• Про рівновагу пласких фігур ( περὶ ἰσορροπιῶν) — виводиться закон рівноваги важеля; доводиться, що центр ваги плаского трикутника розташований в точці перетину його медіан; знаходяться центри інерції паралелограма, трапеції і параболічного сегмента.

• Послання до Ератосфена про метод ( πρὸς Ἐρατοσθένην ἔφοδος) — виявлено в 1906 у, з тематики частково дублює роботу «Про кулю і циліндр», але тут використовується механічний метод доведення математичних теорем.

• Про плаваючі тіла ( περὶ τῶν ὀχουμένων) — виводиться закон плавання тіл; розглядається задача про рівновагу перетину параболоїда, що моделює корабельний корпус.

• Вимірювання кола ( κύκλου μέτρησις) — до нас дійшов тільки уривок з цього твору. Саме в ньому Архімед обчислює наближення для числа .

• Псамміт ( ψαμμίτης) — вводиться спосіб запису дуже великих чисел.

• Стомахіон ( στομάχιον) — подано опис популярної гри.

• Задача Архімеда про биків ( πρόβλημα βοικόν) — ставиться задача, яка приводиться до рівняння Пелля.

Збереглися тільки в арабському перекладі такі праці Архімеда:

• Трактат про побудову близько кулі тілесної фігури з чотирнадцятьма основами;

• Книга лем;

• Книга про побудову кола, розділеного на сім рівних частин;

• Книга про дотичні кола.