Метод Гоморі

Нехай маємо задачу цілочислового програмування (1)—(4). Для її розв’язування можна скористатися ітеративним методом Гоморі. Суть його полягає ось у чому:

1. Знаходять розв’язок послабленої, тобто задачі без вимог цілочисловості змінних — (1)—(3).

Якщо серед елементів умовно-оптимального плану немає дробових чисел, то цей план є оптимальним планом задачі цілочислового програмування (1)—(4).

2. Коли в умовно-оптимальному плані є дробові значення, то вибирається змінна, яка має найбільшу дробову частину. На базі цієї змінної (елементів відповідного рядка останньої симплексної таблиці, в якому вона міститься) будується додаткове обмеження Гоморі:

,

де символ {} позначає дробову частину числа.

Для визначення дробової частини будь-якого числа від цього числа віднімають цілу його частину — найбільше ціле число, що не перевищує даного. Цілу частину числа позначають символом [ ]. Наприклад,

[1,3] = 1; [–1,3] = –2;

{1,3} = 1,3 – 1 = 0,3; {–1,3} = –1,3 – (–2) =2 – 1,3 = 0,7.

3. Додаткове обмеження після зведення його до канонічного вигляду і введення базисного елемента приєднується до останньої симплексної таблиці, яка містить умовно-оптимальний план. Здобуту розширену задачу розв’язують, а далі перевіряють її розв’язок на цілочисловість. Якщо він не цілочисловий, то процедуру повторюють, повертаючись до п. 2. Так діють доти, доки не буде знайдено цілочислового розв’язку або доведено, що задача не має допустимих розв’язків у множині цілих чисел.

Досвід показує, що процес розв’язування задач великої розмірності методом Гоморі повільно збіжний. Істотними є також похибки округлення, які можуть призвести до того, що отриманий цілочисловий план не буде оптимальним.

Приклад1.

Сільськогосподарське підприємство задумало ство­рити сушильний цех на виробничій площі 190 м², маючи для цього 100 тис. грн. і можливість придбати устаткування двох типів А і В. Техніко-економічну інформацію про ці два види устаткування подано в таблиці:

Техніко-економічний показник	Устаткування		Ресурс
	А	В
Вартість, тис. грн.	25	10	100
Необхідна виробнича площа, м2	40	20	190
Потужність, тис. грн./рік	350	150	—

Розв’язування. Нехай х₁ і х₂ — кількість комплектів устаткування відповідно типу А і В.

Запишемо економіко-математичну модель:

,

,

,

і — цілі.

Розв’язуємо задачу, нехтуючи умовою цілочисловості. Остання симплексна таблиця набере вигляду:

Хбаз	Сбаз	План	350	150	0	0
			х1	х2	х3	х4
х1	350	1	1	0
х2	150		0	1
		1475	0	0	10

Значення другої змінної є дробовим числом, що не задовольняє початкові умови задачі. Побудуємо для другого рядка наведеної симплексної таблиці додаткове обмеження виду :

.

Оскільки , , , то додаткове обмеження набирає вигляду

.

Зведемо його до канонічної форми та введемо штучну змінну:

.

Приєднавши здобуте обмеження до останньої симплексної таблиці з умовно-оптимальним планом, дістанемо:

Хбаз	Сбаз	План	350	150	0	0	0	–М
			х1	х2	х3	х4	х5	х6
х1	350	1	1	0			0	0
х2	150		0	1			0	0
х6	–М		0	0			–1	1
		1475	0	0	10		0	0
			0	0			М	0

Розв’язуючи наведену задачу, остаточно знаходимо цілочисловий оптимальний план: , .