Питання для самоконтролю знань, умінь.

1. Яке рівняння називається диференціальним?

2. Яка функція називається розв’язком диференціального рівняння?

3. Що таке порядок диференціального рівняння?

4. Назвати відомі типи диференціальних рівнянь, їх основні характеристики.

5. Як розв’язувати диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними?

6. В чому полягає задача Коші?

Виконаємо самостійно

В - 1 В - 2

1.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

. Знайти загальний та частковий розв’язки диференціального рівняння:

y(0)=3 y(0)=

В - 1 В - 2

1.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

; ;

. Знайти загальний та частковий розв’язки диференціального рівняння:

Практична робота № 17 Тема. Розв’язування лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки

Мета роботи: навчитись розв’язувати лінійні однорідні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами, знаходити їх загальні та часткові розв’язки.

Наочне забезпечення та обладнання:

1. Інструкційні картки

2. Приклади задач

3. Роздаткові матеріали: опорні конспекти “Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами”.

4. Обчислювальні засоби: калькулятор.

Теоретичні відомості про диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

1. Лінійне однорідне диференціальне рівняння надалі (ЛОДР) другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд:

(1)

Функція є розв’язком даного рівняння , ,

де ; ; - сталі, причому . , підставивши значення , , в рівняння (1), одержимо:

| :

(2)

Дане рівняння називають характеристичним рівнянням ЛОДР.

2. Якщо характеристичне рівняння (2) має два дійсні розв’язки , то загальний розв’язок ЛОДР (1) буде:

(3)

3. Якщо характеристичне рівняння (2) має один дійсний корінь k (в такому випадку кажуть, що воно має два дійсні корені, рівні між собою), то загальний розв’язок цього ЛОДР буде:

.

4. Якщо характеристичне рівняння (2) не має дійсних коренів, то воно має два спряжені комплексні корені , , де а, b – дійсні числа, і – уявна одиниця (і ). Тоді загальним розв’язком ЛОДР (1) буде:

Задача 1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Задача 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Задача3. Дано диференціальне рівняння . Знайти:

а) загальний розв’язок рівняння;

б) частковий розв’язок, що задовольняє початкові умови: y(0)=0 та .