Формулы байеса

1. Агенство по страхованию автомобилей распределило всех водителей на классы:

Н1 – осторожные, не рискуют, к ним относятся 30% водителей,

Н2 – рискуют умеренно, 50% всех водителей,

Н3 – рискуют сильно, 20% всех водителей.

По статистике агенства вероятность попасть в аварию в течение года для водителей этих классов соответственно равна 0,01; 0,02; 0,08.

Некоторый водитель застраховал свою машину и в течение года попал в аварию. Какова вероятность, что этот водитель относится к классу Н1, Н2, Н3?

2. Из 10 винтовок 4 с оптическим прицелом. Вероятности попадания для обычной винтовки и для винтовки с оптическим прицелом равны соответственно 0,85 и 0,95. Стрелок выстрелил из наугад взятой винтовки и попал. Из какой винтовки (с оптическим прицелом или из обычной) наиболее вероятно он стрелял?

3. Среди деталей, которые приходят на сборку, от 1-го автомата 0,1% бракованных, от 2-го – 0,2% бракованных, с третьего – 0,25% бракованных, с 4-го - 0,5%. Производительности автоматов относятся как 4:3:2:1. Наугад взятая детель оказалась стандартной. Найти вероятности, что эта деталь изготовлена первым, вторым, третьем, четвертым автоматом?

4. Имеются две урны. В первой урне 5 белых шаров и 4 черных, во второй урне 3 белых шара и 2 черных. Из первой урны во вторую перекладывают не глядя три шара. Затем из второй урны извлекают наугад шар. Какова вероятность, что это черный шар?

5. Испытыватся прибор, состоящий из трех узлов. Вероятность безотказной работы за время Т первого узла равна 0,7, второго – 0,8, третьего – 0,9. Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени Т выяснилось, что два узла отказали. Найти вероятность, что это третий и второй узлы.

Формулы бернулли

1. В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой суммы 1) три договора, 2) менее трех договоров.

2. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос даны 4 возможных ответа, из которых только один правильный. Найти, чему равна вероятность для неподготовленного человека, выбирающего ответы наугад, правильно ответить хотя бы на 3 вопроса теста.

3. Что более вероятно: выиграть у равносильного соперника не меньше трех партий из четырех или не меньше пяти партий из восьми (ничьи не считаются)?

НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЯ

1.Какое наиболее вероятное число мальчиков в семье, в которой пятеро детей? Вероятность рождения мальчика равна 0,51.

2. Сколько раз нужно подбросить игральный кубик, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки равнялось 32?

3. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5% всех деталей не удовлетворяет стандарту. Каково наивероятнейшее число нестандартных деталей в партии из 1000 штук? Какова вероятность этого числа?

4. Тестовое задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы да или нет. Найти наивероятнейшее число правильных ответов школьника, выбирающего ответы на вопросы наугад.

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

1. Найти вероятность того, что среди 5000 изделий менее двух не выдержат испытания, если в среднем 0,1% изделий не выдерживают испытания.

2. Найти вероятность того, что день 8 марта будет днем рождения 1) ровно для одного из 150 студентов экономического факультата; 2) не менее, чем для двоих из 150 студентов; 3) ни для кого из 150 студентов.

3. Вероятность появления события при каждом испытинии равняется 0,02. Какова вероятность, что в 1000 испытаниях событие произойдет хотя бы 1 раз?

ФОРМУЛА ПУАССОНА

1.Завод направил на базу 1000 единиц готовой продукции. Вероятность того, что в дороге изделие будет повреждено, равна 0,002. Найти вероятность того, что при перевозке будет повреждено ровно 3 изделия.

2. Микросхема состоит из 1000 элементов. Вероятность выхода из строя каждого элемента не зависит от состояния других элементов и равна. 0,001. Найти вероятность отказа 1) ровно двух элементов; 2) не более двух элементов; 3) не менее двух элементов.

3. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0.0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

1. В среднем из каждых 1000 деталей 7 бракованных. Найти вероятность, что среди случайно отобранных 2500 деталей будет не более 10 бракованных.

2. Вероятность появления некоторой реакции в одном химическом опыте равна 0,3. Найти вероятность того, что в 100 таких опытах реакция произойдет не менее 75 раз

3. Вероятность того, что деталь нестандартная, равна 0,1. Найти вероятность того, что в случайной выборке из 400 деталей будет от 5% до 10% нестандартных деталей.

4. В страховой компании застраховано от пожара 10000 человек. На основании статистических данных компания предполагает, что вероятность пожара в течение ближайших трех лет равна 0,006. Страховой взнос составляет 12000 грн.в год, а в случае пожара компания выплачивает пострадавшему 1 млн. Найти вероятность того, что

1. после трех лет работы страховая компания обанкротится;

2. за три года работы компания получит прибыль не менее 40 млн. грн.

5. На склад поступают изделия, 80% из которых высшего сорта. Сколько изделий нужно взять со склада для контрольной проверки, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что в магазине изделий высшего сорта от75% до 85%?

6. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9. Деталь тут же проверяется ОТК. За смену с конвейера сходят 400 деталей.Найти вероятность того, что число стандартных деталей, изготовленных за смену, будет соответствовать плану выпуска продукции, допускающему процент брака не более, чем 15% от объема выпущенной продукции.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Монету подбросили 7 раз. Найти мат. ожидание количества появлений герба.

2. В урне находятся 4 белых шара и 4 черных. Наугад берут 3 шара. Найти 1) ряд распределения СВ - количества белых шаров среди выбранных. 2) мат. ожидание и дисперсию этой СВ. 3) Начертить функцию распределения этой СВ.

3. Дискретная СВ принимает значения 1,2,3,…n и распределена равномерно (вероятность всех значений СВ одинакова). Найти 1) ряд распределения СВ. 2) Вычислить мат. ожидание этой СВ.

4. Стрельба ведется до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Написать ряд распределения СВ – количества выстрелов до первого попадания. Найти мат. ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение СВ. Каков будет результат, если количество снарядов очень велико (k стремится к бесконечности)?

5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,1. Стрельба длится до первого попадания. Написать ряд распределения СВ – количества выстрелов до первого попадания. Найти мат. ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение СВ. Начертить функцию распределения этой СВ.

6. Три студента сдают экзамен по теории вероятности. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен, равна 0,9, для второго и третьего студентов эта вероятность равна 0,85 и 0,8. Построить ряд распределения СВ – количества студентов, которые сдадут экзамен. Построить функцию распределения этой СВ.

7. Игральный кубик подбрасывается до первого появления цифры 6. Найти мат. ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение СВ – числа подбрасываний кубика.

8. Проводятся три независимых испытания, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью p. 1) Составить ряд распределения случайной величины X – количества появления события А в трех испытаниях, 2) Найти мат. ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение СВ.

9. Садовник посадил осенью три саженца: одну яблоню, одну грушу и одну вишню. Вероятность того, что саженец яблони весной примется, равна 0,7. Для саженцев груши и вишни эта вероятность равна 0,9 и 0,8. Найти мат. ожидание, дисперсию числа саженцев, которые примутся весной.

10. Вероятность появления события А в испытании равно p. Найти мат. ожидание СВ X – количества появлений события А в одном испытании. Обобщите полученный результат на n испытаний не составляя закона распределения.