2.3. Основные законы распределения случайных величин

2.3.1. Основные законы распределения дискретных случайных величин

1. Равномерный закон распределения.

Дискретная случайная величина X называется распределённой по равномерному закону, если она принимает свои возможные значения с постоянной вероятностью

,

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой дискретной случайной величины вычисляются по формулам

.

2. Биномиальный закон распределения.

Для этого закона дискретная случайная величина X есть число появлений события А при проведении испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли.

Вероятности её возможных значений вычисляются по формуле

.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределения по биноминальному закону вычисляется по формулам

3. Закон распределения Пуассона.

Для этого закона дискретная случайная величина X – число появлений события А при проведении испытаний, удовлетворяющих теореме Пуассона.

Тогда вероятность того, что в n испытаниях случайная величина X примет значение равное m вычисляется по формуле

; , где

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона вычисляются по формуле

.

4. Геометрический закон распределения.

Для этого закона дискретная случайная величина X – число проведённых испытаний до первого появления события А, если испытания удовлетворяют схеме Бернулли.

Тогда вероятность того, что в n испытаниях случайная величина X примет значение равное m вычисляется по формуле

.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по геометрическому закону, вычисляются по формулам

5. Гипергеометрический закон распределения.

Пусть имеется множество из n элементов, из которых s элементов обладают фиксированным свойством. Пусть из этого множества осуществляется выборка из r элементов. Тогда дискретная случайная величина X – число элементов с фиксированным свойством, оказавшихся в выборке, а вероятности её возможных значений определяются по формуле

.

Пример 2.7. Предприятие выпускает 90 % изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины X – числа изделий высшего сорта из трёх, взятых наудачу изделий. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение. Случайная величина X – число изделий высшего сорта среди трёх отобранных изделий может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

,

Случайная величина X подчиняется биномиальному закону:

	0	1	2	3
	0,001	0,027	0,243	0,729

Проверка: = 0,001 + 0,027 + 0,243 +

+ 0,729 = 1.

, .

Пример 2.8. На сборку поступило 30 деталей, из них 25 стандартных. Сборщик берёт наудачу три детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди трёх взятых.

Решение. Случайная величина X – число стандартных деталей среди отобранных, подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

. Воспользуемся формулой:

Закон распределения случайной величины X:

	0	1	2	3

Проверка: =

^,

.

Задачи

Биномиальный закон

222. Контрольная состоит из трёх вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения и построить её график.

223. Вероятность того, что в течение гарантийного срока прибор потребует ремонта, равна 0,15. Составить закон Х – числа приборов, которые потребуют ремонта, если случайно отобраны были три прибора. Найти числовые характеристики случайной величины.

224. Хорошим считается руководитель, принимающий 70% правильных решений. Управляющему банком предстоит принять решения по 4 важным вопросам банковской политики. Считая вероятность принятия правильного решения постоянной, составить закон распределения возможного числа правильных решений управляющего. Найти числовые характеристики. Записать функцию распределения и построить её график. Найти вероятность того, что управляющий примет менее 3 правильных решений.

225. При сдаче интернет-экзамена на каждый вопрос предлагается 5 ответов, один из которых верный. Студент не подготовился к экзамену и ответ выбирает наудачу. Составить закон распределения случайной величины Х – числа верных ответов на 7 вопросов, предложенных студенту. Найти функцию распределения

F(х) и построить её график. . Найти числовые характеристики случайной величины Х.

226. В городе 6 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 12%. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения и построить график. Найти вероятность того, что в течение года обанкротиться не больше одного банка.

227. Вероятность того, что случайно выбранная страница рукописи содержит грамматическую ошибку 0,02. Составить закон распределения случайной величины Х – числа страниц, содержащих ошибки, если проверены 5 страниц. Найти М(Х), D(Х),  (Х). Построить полигон распределения.

228. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 7 счетов. Известно, что 3% счетов содержат ошибки. Составить закон распределения числа правильных счетов. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения, построить её график. Найти вероятность того, что хотя бы один счёт будет с ошибкой.

229. В среднем по 13% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа договоров, по которым будет выплачена страховая сумма, если за год было заключено 820 договоров.

230. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое четвёртое малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти математическое ожидание и дисперсию числа малых предприятий, имеющих нарушение финансовой дисциплины из 900 зарегистрированных в регионе.

231. Два стрелка делают по 12 выстрелов в одну и ту же мишень. Вероятность попадания при выстреле для первого стрелка – 0,6; а для второго – 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию Х – числа попаданий в мишень.

232. Установлено, что из посетителей магазина до обеда 10% уходят с покупками, а после обеда 25% посетителей что-либо покупают. В среднем до обеда в магазин заходят 220 покупателей, а после обеда – 475. Найти математическое ожидание числа посетителей магазина, купивших товар.

Гипергеометрическое распределение

233. На курсах повышения квалификации бухгалтеров преподаватель предлагает проверить 8 накладных, 3 из которых содержат ошибки. Наугад берутся 2 накладные. Составить закон распределения случайной величины Х – числа накладных с ошибками среди отобранных. Найти М(Х), D(Х), (Х). Составить функцию распределения F(x) и построить её график.

234. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны извлекается три раза подряд шар, причём каждый раз вынутый шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Составить закон распределения случайной величины Х – числа белых шаров среди трёх извлечённых.

235. Вузом рассматриваются 9 кандидатур студентов, претендующих на обучение за границей. Среди них трое в совершенстве владеют иностранным языком. Путём жеребьёвки отобраны четверо студентов. Составить закон распределения случайного числа студентов, владеющих языком, среди четырёх отобранных.

236. Среди 12 агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу отобранных из общего числа. Составить функцию распределения и построить её график.

237. Среди 8 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу четырёх приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Геометрическое распределение

238. Экзаменатор задаёт студенту дополнительные вопросы. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, равна 0,85. Преподаватель прекращает экзамен, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины Х – числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

239. Вероятность попадания стрелком в цель при одном выстреле равна 0,7. Стрелок стреляет до первого попадания. Составить закон распределения случайной величины Х – числа произведённых выстрелов. Найти: а) числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х); б) вероятность того, что будет произведено от 2 до 4 выстрелов.

240. Игрок поочерёдно покупает билеты мгновенной лотереи до первого выигрыша. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи составляет 0,2. Составить закон распределения и найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа купленных билетов, если игрок имеет возможность купить неограниченное число билетов.

241. Покупатель посещает магазины до момента приобретения нужного товара. Вероятность того, что товар имеется в определённом магазине 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х – числа магазинов, которые посетит покупатель. Найти числовые характеристики случайной величины М(Х), D(Х).

242. Вероятность при прыжке взять высоту, которая является нормой для мастера спорта равна р. Спортсмен повторяет попытки пока не добьётся успеха. Какова вероятность, что будет выполнено не менее трёх прыжков, если по статистике среднее число попыток равно 5.

Распределение Пуассона

243. На данный поезд было продано 450 билетов. Вероятность опоздания пассажира к отправлению поезда равна 0,002. Составить закон распределения случайной величины Х − числа пассажиров, опоздавших к отправлению поезда. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что к отправлению поезда опоздают от 2 до 6 пассажиров.

244. Завод отправил потребителю 10 000 изделий. Среднее число изделий, повреждённых при транспортировке, составляет 0,01%. Составить закон распределения случайной величины Х – числа повреждённых изделий при транспортировке. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено менее 3 изделий.

245. Учебник издан тиражом 12 000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0005. Составить закон распределения случайной величины Х – числа неправильно сброшюрованных учебников. Найти: а) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение; б) вероятность того, что число неправильно сброшюрованных книг будет менее 5.

246. Устройство состоит из 200 0 элементов , работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,0003. Составить закон распределения случайной величины Х – числа отказавших за время t элементов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что за время t не менее 4 элементов.

247. Поток покупателей в кассу супермаркета подчиняется распределению Пуассона, со средним значением 7 человек в час. Чему равна вероятность того, что за час число покупателей в кассу составит от 3 до 7 покупателей .

Основные законы распределения непрерывных

случайных величин

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределённой на отрезке , если плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне этого отрезка

Функция распределения примет вид:

Изобразим графики обеих функций (рисунок 2.5).

Р исунок 2.4 − Графики функций F(x) и f(x)

M(X) и D(X) равномерно распределенной случайной величины рассчитываются по формулам

Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей случайной величины X, которое описывается плотностью

где − постоянная положительная величина.

Функция распределения примет вид:

Г рафики плотности и функции распределения показательного закона

Рис. 2.5 − Графики функций F(x) и f(x)

Для M(X) и D(X) показательного распределения справедливы равенства

Вероятность попадания в интервал показательно распределённой случайной величины вычисляется по формуле

.

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей выражается формулой

f(х) = ,

где − математическое ожидание, − среднее квадратическое отклонение.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса, рисунок 2.6).

1. Функция ƒ(х) определена на всей оси Х.

2. При любых значениях Х функция принимает положительные значения, т.е. лежит выше оси ОХ.

3. Точка (а, ) – точка max.

4. Точки перегиба (а-σ, ) и (а+σ, ).

Y

X

Рисунок 2.6 − Кривая Гаусса

Если функция Лапласа задаётся формулой Ф(х) = , то для нормально распределенной случайной величины:

1) вероятность того, что непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, примет значение на интервале , равна

2) вероятность того, что отклонение нормально распределённой случайной величины по абсолютной величине меньше положительного числа , находится из соотношения

.

3) связь между функцией распределения F(x) случайной величины Х, распределённой по нормальному закону и функцией Лапласа выражается формулой _.

Пример 2.9. Поезда метро идут строго по расписанию. Интервал движения – 5 минут. Составить f(x) и F(x) случайной величины X – времени ожидания очередного поезда и построить их графики. Найти M(X), D(X).

Решение. Случайная величина X – время ожидания очередного поезда. Величина X распределена равномерно на отрезке [0,5], поэтому воспользуемся формулами

Тогда имеем

Рис. 2.7 − Графики функций F(x) и f(x)

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

.

Тогда

Пример 2.10. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром Составить функцию распределения, функцию плотности этой случайной величины. Найти числовые характеристики и вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (0,3;1).

Решение. Очевидно, искомая плотность распределения

Искомая функция распределения

По условию Следовательно,

Для нахождения вероятности P(0,3<X<1) воспользуемся формулой

Тогда,

Пример 2.11. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали равна а=35, среднее квадратическое отклонение Требуется:

а) составить функцию плотности вероятностей;

б) найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше

_{в) найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет меньше 36}

г) найти вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не больше чем на

Решение. а) Так как непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону, есть ее плотность распределения вероятностей выражается формулой

.

Следовательно,

.

б) Для нормально распределенной случайной величины

Тогда

в) Вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет меньше 36 определяется по формуле :

г) Последнее задание решаем по формуле

Таким образом,

где Ф(x) – интегральная функция Лапласа (Приложение Б).

Задачи

Равномерное распределение

248. Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти: а) функцию распределения F(x) и построить её график;

б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

249. Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [0; 100]. Найти вероятности a) Р(Х > 10), б) Р(40 < Х <90), в) Р(Х = 50).

250. Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [1; 3]. Требуется: а) найти функцию плотности вероятности, функцию распределения случайной величины Х, построить их графики; б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (1;2).

251. Все значения равномерно распределённой случайной величины Х расположены на отрезке [2; 8]. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также вероятности её попадания на отрезок [6; 9] и в интервал (3; 5).

252. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей

Требуется найти: а) коэффициент C; б) функцию распределения ;

в) числовые характеристики случайной величины Х; г) построить графики функций и .

253. Поезда метро идут с интервалом в 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Х, в течение которого ему придётся ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределённую с равномерной плотностью на отрезке [0; 2] мин. Найти: , а также вероятность того что пассажиру придётся ожидать ближайшего поезда не более 0,5 мин.

254. Молоко разливают в пакеты по 1 литру. Фактически количество молока в пакете заключено в пределах от 0,95 до 1,05 литра и подчинено равномерному закону. Найти вероятность того, что пакет будет: а) вмещать более 1,03 литра; б) вмещать менее 0,91 литра; в) удовлетворять стандарту, если контроль качества допускает отклонение ( 0,02) литра.

255. Время движения автомобиля от города А до города В равномерно распределено на отрезке от 70 до 90 мин. Требуется: а) составить функцию плотности распределения вероятности; б) найти вероятность того, что автомобиль будет двигаться: 1) менее 75 мин; 2) более 82 мин; 3) ровно 80 мин.; в) найти среднее время движения автомобиля, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

256. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка: а) не более 0,04; б) более 0,05.

257*. На этикетке жидкого моющего средства указано, что содержание жидкости в бутылке должно составлять 12 унций. Операция по наполнению бутылки может быть описана следующей функцией плотности распределения вероятностей:

Требуется определить: а) вероятность того, что бутылка будет заполнена: 1) от 12 до 12,5 унций; 2) больше 12,02 унций; б) вероятность того, что бутылка будет удовлетворять стандарту, если контролёр качества допускает при производстве отклонение ( 0,2) унции по отношению к указанному на этикетке.

258*. При выяснении причин недостачи драгоценных металлов в ювелирном магазине установлено, что их взвешивание производится на весах, цена деления которых равна 0,1г., а показания весов округляются при взвешивании до ближайшего деления их шкалы, причём округления на любые значения от (– 0,05) до 0,05 равновероятны. Оценить возможность возникновения ошибки более, чем на 0,03г., вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение потерь.