6.2.3 Інтегрування диференціальних рівнянь: приклади розв’язування завдань Приклади

1.Розв’язати задачу Коші:

(5.3.0)

(5.3.1)

Розв’язування. Розв’язок рівняння (5.3.0) шукатимемо у вигляді степеневого ряду:

(5.3.2)

Продиференціюємо двічі ряд (5.3.2):

Коефіцієнти і знайдемо з початкових умов (5.3.1):

Підставивши в рівняння (5.3.0) замість і їх розклади, одержимо тотожність:

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , матимемо

Тому

Взагалі,

Отже, шуканий розв’язок задачі (5.20), (5.21) має вигляд:

За ознакою Даламбера легко впевнитися в тому, що утворений ряд збіжний на всій числовій прямій.

Зазначимо, що порядок диференціального рівняння не впливає на метод його розв’язування за допомогою степеневих рядів.

2. Розв’язати диференціальне рівняння при заданій умові:

(5.3.3)

(5.3.4)

Розв’язування. Це рівняння нелінійне і тому підстановка в рівняння (5.3.3) шуканого розв’язку у вигляді степеневого ряду

. (5.3.5)

приведе до досить складних рівнянь для визначення коефіцієнтів . Тому продиференціюємо задане рівняння (5.3.3) кілька разів підряд:

Покладаючи в заданому рівнянні і в усіх утворених та беручи до уваги початкову умову (5.3.4), послідовно знайдемо

З рівності (5.3.5) маємо

Підставивши знайдені коефіцієнти в рівність (5.3.5), остаточно одержимо:

3.Розв’язати рівняння:

якщо при

Розв’язування. Нехай

З останнього, диференціюючи, одержуємо:

.

Підставляючи та в дане рівняння, одержуємо тотожність:

Групуючи в лівій частині одержаного рівняння члени з однаковими степенями і прирівнюючи до нуля коефіцієнти при цих степенях, будемо мати

і т. д.

Взагалі,

Тому,

(5.3.6)

де і .

Застосовуючи ознаку Даламбера, легко переконатися, що ряд (5.3.6) збіжний при .

4.Розв’язати рівняння

Розв’язування. Покладаємо

.

Маємо Диференціюючи обидві частини рівняння , послідовно знаходимо і т. д. Тому,

.

Для розглянутого прикладу знайдений розв’язок можна записати в кінцевому вигляді

або

Аналогічно слід поступати у випадку диференціальних рівнянь вищих порядків. Дослідження збіжності одержаних рядів, взагалі кажучи, складне і при розв’язуванні задач цього пункту обов’язковим не передбачається.

5. Проінтегрувати рівняння .

Будемо шукати розв’язок цього рівняння у вигляді ряду

.

Підставляючи та знайдене у початкове рівняння, матимемо

Згрупуємо члени з однаковими степенями :

Прирівнюючи до нуля всі коефіцієнти отриманого ряду (щоб рівняння перетворилося в тотожність), знаходимо

Останнє співвідношення дозволяє знайти послідовно всі коефіцієнти шуканого розкладу ( і залишаються довільними і відіграють роль довільних сталих інтегрування):

Таким чином,

Одержані ряди збігаються на всій числовій осі і визначають два лінійно незалежних частинних розв’язки початкового рівняння.

6. Наближено проінтегрувати за допомогою ряду Тейлора рівняння , взявши шість перших членів розкладу, відмінних від нуля.

З початкової умови знаходимо . Диференціюючи дане рівняння, послідовно одержуємо

.

Прийнявши і використовуючи значення послідовно знаходимо Шуканий розв’язок має вигляд

.

7. Знайти чотири перших (відмінних від нуля) члени розкладу.

Диференціюючи рівняння , маємо

При одержуємо

Розв’язок має вигляд

.