6.2.3 Інтегрування диференціальних рівнянь: завдання для самостійної та домашньої робіт
1.Знайти наближені розв’язки диференціальних рівнянь при заданих початкових умовах:
а)
б)
2-11.За допомогою степеневих рядів знайти розв’язок рівняння при заданих початкових умовах. В №№ 5-8, 10 встановити області збіжності одержаних розв’язків.
2.
при
.
3.
при
.
4.
при
.
5.
при
.
6.
при
.
7.
при
.
8.
при
.
9.
при
.
10.
при
.
11.
при
.
Відповіді: 2.
3.
4.
.
5.
.
6.
ряд збіжний при
.
7.
ряд збіжний при
.
Вказівка. Використати метод
невизначених коефіцієнтів. 8.
ряд збіжний при
.
9.
.
Вказівка. Використати метод
невизначених коефіцієнтів.
10.
ряд збіжний при
.
Вказівка. Використати метод
невизначених коефіцієнтів. 11.
12-24.За допомогою розкладу в ряд за степенями проінтегрувати наступні рівняння і встановити область існування одержаного розв’язку:
12.
13.
В силу початкової умови покласти
14.
15.
16.
В силу початкової умови покласти
19.
.
Знайти чотири перших (відмінних від
нуля) члени розкладу.
20.
.
Знайти два перших (відмінних від нуля)
члени розкладу.
21.
Знайти чотири перших (відмінних від
нуля) члени розкладу.
22.
.
Знайти точний розв’язок.
23.
.
Знайти п’ять перших членів розкладу.
24.
.
Знайти п’ять перших (відмінних від
нуля) членів розкладу.
В задачах 25 – 32 знайти декілька перших членів розкладу в степеневий ряд розв’язку рівняння при вказаних початкових умовах:
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33 – 42. Знайти три перших, відмінних
від нуля члени розкладу в степеневий
ряд розв’язку
диференціального рівняння
,
що задовольняє початковій умові
.
33.
.
34.
.
35.
.
36.
.
37.
.
38.
.
39.
.
40.
.
41.
.
42.
.
6.2.4 Обчислення границь: приклади розв’язування завдань
1. Знайти
.
Розв’язування. Замінивши і їх розкладами в степеневі ряди, одержимо
2. Знайти
.
Розв’язування. Використовуючи розклад та в степеневі ряди, одержимо
3. Обчислити границі:
а)
;
б)
.
Розв’язування. Застосовуючи до обох інтегралів ознаку Даламбера, одержимо:
і
Тобто,
,
і
6.2.4 Обчислення границь: завдання для самостійної та домашньої робіт
1. Знайти
.
2. Знайти
.
Відповідь: 1. 1/3; 2. 1.