Лекция 4. Интегрирование функции комплексного переменного.

I. Контурные интегралы.

П усть задана функция - непрерывная в области D. Пусть Г – гладкая кривая в D.

Разобьем дугу АВ на части точками z_K. В каждой части возьмем точку, соответствующую комплексному числу и образуем сумму

.

Рис.15

Рис.15.

Определение. Предел суммы (при стремлении к 0 длины наибольший из частных дуг ), называется контурным интегралом от функции вдоль дуги АВ и обозначается .

(1)

Так как , то интеграл (1) сводится к двум криволинейным интегралам от функций действительного аргумента.

(2)

Свойства интеграла от функции комплексного переменного.

Из определения интеграла от функции комплексного переменного ясно, что свойства интеграла (2) аналогичны свойствам криволинейного интеграла II рода по координатам

1) , где

Г⁺ и Г^- - кривые, ориентированные в противоположных направлениях.

2) Если , то

3) Справедлива оценка интеграла

,

где ds – дифференциал длины дуги, т. е. это связь криволинейного интеграла II-го рода с криволинейным интегралом 1-го рода.

4) Имеет место формула замены переменной, если , где устанавливает связь между кривыми Г₁ и Г₂, то

5) Если кривая Г задана параметрически

то , a<t<b

Пример. Вычислить , где L – отрезок прямой соединяющей точки

Решение.

.

Теоремы Коши.

Теорема 1. Если функция аналитическая в односвязной области D, то интеграл от функции по любому кусочно-гладкому контуру Г не зависит от пути интегрирования, если же контур Г замкнут, то интеграл =0, т. е. .

Теорема 2. Если область D ограничена внешним контуром Г и внутренними контурами Г₁ Г₂…Г_к, и - аналитическая, то

Рис.16.

Неопределенный интеграл.

Пусть в области D функция аналитическая. Интеграл от этой функции по кривой, соединяющей точки и z в силу теоремы Коши не зависит от вида кривой, при фиксированной интеграл является функцией z

Можно показать, что .

Определение. Функция , производная которой равна называется первообразной по отношению к функции .

Множество первообразных называется неопределенным интегралом от функции .

Справедливы все формулы интегрирования.

Формула Ньютона – Лейбница.

.

Пример. Вычислить

.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ.

Пусть функция аналитическая в односвязной замкнутой области D с кусочно-гладкой границей L, ориентируемой в положительном направлении, тогда имеет место формула Коши

(1)

или

(2)

где z₀ – любая точка внутри контура.

Формула (1) называется интегральной формулой Коши.

- интеграл Коши.

Пример. Вычислить , где L контур, содержащий в себе точку , и не содержащий .

Решение.

ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ.

Пусть любая кусочно-гладкая ориентированная кривая не обязательно замкнутая и - непрерывная функция, определенная вдоль , выражение

(1)

называется интегралом типа Коши, точка не лежит на контуре . Интеграл Коши является интегралом, зависящим от параметра , а интегралы, зависящие от параметра можно дифференцировать по этому параметру.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3)

Пример. Вычислить ;

Решение.

Лекция 5. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ.