Числовые ряды.
Определение. Ряд
(1)
составленный из
комплексных чисел
,
называется числовым рядом
(2)
Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если сумма его первых слагаемых стремится к конечному пределу
.
Из (2) следует, что все теоремы и свойства числовых рядов в действительной области имеют место и справедливы для числовых рядов в комплексной плоскости.
Функциональные ряды.
Это ряды вида
,
(1)
где функция комплексного переменного.
Определение. Степенным рядом называется ряд
(2)
или
(3)
Определение.
Точки z,
для которых степенной ряд сходится,
называются точками сходимости,
совокупность всех точек сходимости
называется областью сходимости. Для
ряда (3) область сходимости
.
Справедлива теорема Абеля и все формулы для определения радиуса сходимости системных рядов в комплексной области, также как и в действительной области.
Ряд Тейлора.
Определение.
Ряд вида
,
где коэффициенты
называется рядом Тейлора.
Теорема. Если функция аналитическая в круге то она однозначно представляется в нем рядом Тейлора, т. е.
,
Основные элементарные
функции комплексного переменного в
окрестности точки
имеют такой же вид ряда Тейлора, что и
функции действительного переменного.
Определение. Точка в окрестности которой функция может быть разложена в ряд Тейлора, называется правильной точкой функции . Если же функция в окрестности точки не может быть разложена в ряд Тейлора, то точка называется особой точкой функции .
Ряд Лорана.
Рассмотрим два ряда
(5)
(6)
Теперь объединим (5) и (6).
(7)
Рис.17.
Определение. Ряд (7) называется рядом Лорана и записывается так
(8)
где коэффициенты
а Г – произвольная окружность с центром в т. , лежащая внутри кольца сходимости.
В формуле (8) ряд
называется главной (сингулярной) частью ряда Лорана, а ряд
называется правильной (регулярной) частью ряда Лорана.
Теорема.
Если функция
аналитическая в кольце
,
то в этом кольце она единственным образом
представлена в виде ряда Лорана
,
где
Лекция 6. Особые точки и их классификация. Вычеты.
Определение. Точка в которой функция неаналитична, называется особой. Если в достаточной близости к особой точке нет других особых точек, то особая точка называется изолированной особой точкой.
Если
- изолированная особая точка, то существует
окрестность – кольцо
в котором функция аналитична, а значит
разложима в ряд Лорана, т.е.
.
При этом могут представиться 3 случая.
1). Отсутствует
главная часть ряда Лорана, т. е.
,
тогда
(1)
Точка - изолированная устранимая особая точка.
2). Главная часть ряда Лорана содержит конечное «m» число членов, т. е.
,
тогда точка называется полюсом порядка «m», при этом
(2)
3). Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов, тогда точка существенно особая. Функция не определена.
Вычеты функции.
Определение. Вычетом аналитической функции относительно изолированной особой точки называется комплексное число, равное значению интеграла
,
взятому в
положительном направлении по любому
контуру
,
содержащему внутри себя единственную
особую точку
и лежащему в области аналитичности
функции
.
Вычет функции обозначается
Вычет связан с рядом Лорана
,
так как
Вычисление вычетов.
Разложением функции в ряд Лорана.
Пример.
Найти
.
Решение.
Представляем функцию
рядом Лорана, для этого используем
известное разложение
в точке z=0.
Коэффициент
- отсутствует, поэтому
и
Функция имеет в точке полюс 1-го порядка, т. е.
тогда умножая обе
части равенства на
и переходя к пределу при
,
получаем
Если функция
,
где
,
то
Если функция в точке имеет полюс порядка
,
тогда
Основные теоремы о вычетах.
Теорема 1.
Если функция
аналитическая в области D
за исключением особых точек
,
то
Пример.
Вычислить
.
Решение.
В области
функция
имеет 2 особые точки
а)
.
б)
.
Пример.
Вычислить
.
Решение.
В круге
две особые точки
- полюсы 1-го порядка.
Теорема 2.
Если функция
аналитическая в верхней полуплоскости,
включая действительную ось, за исключением
конечного числа полюсов
,
расположенных над действительной осью.
Кроме того,
предполагается, что
тогда
Рис.18.
Пример.
Вычислить
.
Решение.
.
